杨辉三角之组合数解法

题目描述：

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。

（题目及图片复制于Leetcode）

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思考：这图一看脑子大概就有了个解决过程。从杨辉三角的生成规律可以知道，第n+1行的结果是从第n行产生的，所以很容易就能想到动态规划的解法。

动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];

（但是具体的操作还有更加妙的处理方式，主要得益于发现者敏锐地观察力）

不过作为一名高中生，被组合数统治的恐惧依旧未散，一看到”1,3,3,1“”1,4,6,4,1“脑子里就蹦出了（害从我的博客园搬过来的发现公式没办法识别我就截图了）

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下面开始实现：

方法零：打表（oier都懂得~）

方法一：动态规划

思路：一个是刚开始就构建一个包含所有前numRows行的数组数组，然后循环每个数组进行更新。

但是这样浪费空间，实际上每次操作只需要两个数组，一个是上一行，一个是本行。

然后再思考思考，是不是一行也可以呢？

可以！

这里就提到一个发现的规律（当然，是可以证明的）：

比如上一行是     1        3         3            1

下一行就是     1      4         6           4            1

这两行有什么关系呢？

看：    1         3           3             1         0

+         0         1           3             3         1           

_________________________________

=>       1         4           6             4          1               （数组向右偏移一个，然后对应数字相加）

于是一个数组就可以完美解决。(具体细节自己阅读代码哦）

(注意: 由于数组大小变动，用vector数据结构比较方便)

<c++>

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void showcase(vector <int> &outp);//显示一行
int main()
{
    int numRows;
    vector <int>outp(1, 1);//期初数组是{1}

    cout << "请输入行数：";
    cin >> numRows;

    showcase(outp); // 先把第一行输出了
    for (int i = 1; i < numRows; ++i)
    {
        outp.push_back(1);               //最后一个一定是1了
        for (auto elm = outp.end()-2; elm != outp.begin(); elm--)//大细节！若从前往后就会出问题，建议自己尝试
        {                              //从第二项处理到倒数第二项  因为两边的都已经是1了
            *elm = *(elm - 1) + *(elm);//此时前一项相当于上一行的对应数，
        }                              //本项相当于上一行偏移后的对应数
        showcase(outp);
    }
    system("pause");
    return 0;
}
void showcase(vector<int> &outp)//显示本行
{
    int siz = outp.size();
    for (int i = 0; i < siz; ++i)
    {
        cout << outp[i] << "  ";
    }
    cout << endl;
}

方法二：构造组合数函数

思路：构造组合数函数
杨辉三角第n行个数分别为

所以我们只需要构造一个Combine组合数函数（组合数不懂得可以百度哦网上教程可比我讲得全面）

遇到的问题及解决办法:
1.如果单单构建阶乘函数，那么等numRows够大后 unsigned long long都不够
解决办法：于是就直接构建了组合数函数（比如C(2,7)、C(7,2)只是7*6/2,阶乘的话就得算出7!)
2.但是构造阶乘函数unsigned long long还是不够用
解决办法:函数内部计算时用double 最后再转换成int;

 代码:

<c++>

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int Combine(double a, double b);// 求组合数的函数
int main()
{
    int numRows;
    cout << "请输入行数:";
    cin >> numRows;
    // ans[0][0]=1;
    if (numRows == 1){ cout << 1 << endl; system("pause"); return 0; }//特判
    for (int a = 0; a<numRows; ++a)     //numRows >=2
    {
        for (int b = 0; b <= a; ++b)
        {
            cout << Combine(a, b) << "  ";
        }
        cout << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}
/*unsigned long long Factorial(int n)      //阶乘   but it turned out to be a failure
{
    if(n == 0)return 1;
    n++;
    unsigned long long  ans=1;
    for (int i = 1;i<n;++i)
    {
        ans *= i;
    }
    return ans;
}*/
int Combine(double a, double b)//组合数函数
{
    double ans = 1;
    if (b == 0 || a == b)return 1;                     //组合数定义
    int terminal = b>(a - b) ? b : (a - b);              //多算算组合数题目就懂了
    for (double i = 1; a>terminal; ans *= a / i, --a, ++i);
    return int(ans + 0.5);            //小细节
}

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总结：

使用组合数的优势似乎并不是很明显（而且有点吃数学知识）。不过这个思想却是从这个例子中最大的收获。很多算法问题，顺水推舟去解决往往总会止步在效率的上限，但是用上数学的思想和工具就会有意想不到的效果（有时对效率的改进是颠覆性的）。