重温计算机组成原理：浮点数

为什么需要浮点数？

最主要的原因是按照整数这种定位数去在计算机中存储，存的数量没有满足到需求。譬如
寄存器只有4位的话，存储整数最多存储10000个，范围是0~9999。
$$10^4=10000$$
如果是小数呢，加入小数点固定在中间，如99.99,存储的数量也是10000。那么9.999怎么存储呢，向左移动一位就好了啊，是的，那么就用到科学计数法。
$$9999\times 10^{-3}=9.999$$

这种可以控制小数点变动的就叫做浮点数。

浮点数，是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学计数法。

用科学计数法的方式就可以满足存储的要求。

IEEE 754 定义

表达式如下：

$$(-1{)}^s\times 1.f\times 2^e$$

• s=sign,e=exponent,f=fraction.

• s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

• f表示有效数字，1.f整体大于等于1，小于2。

• e表示指数位。

  

精度	符号位数	指数位数	有效位
32位单精度	1	8	23
64位双精度	1	11	52

规约形式的浮点数

按照IEEE 754规定的，而且有效位小数点左边的数字为1的情况,就是规约形式的浮点数。

由于这种表示下的尾数有一位隐含的二进制有效数字，为了与二进制科学计数法的尾数（mantissa）相区别，IEEE754称之为有效数（significant）。

为什么叫有效位呢？因为按照约定，小数点左边的1是固定的，所以在存储器层面上不会存储这个位，同时为存储的位数增加了一位，按照32位来说，有效位就是23位（如果要存储小数点左边的1只有22位）。

指数偏移值

以32位为例子，指数位可以表示的范围大概如下，大概就是0~256
$$2^8=256$$
按照32位来看，那么负数怎么办？IEEE 754就想到个折中的办法，切割一般给负数吧。
-127~-1共127个负数，1~128共128个正数，还有0这个自然数，总共256个值。

最小值
$$(-1{)}^{-1}\times 1.00000000000000000000000\times 2^{255}$$
最大值
$$(-1{)}^0\times 1.00000000000000000000000\times 2^{255}$$
绝对值最小值
$$(-1{)}^0\times 1.00000000000000000000000\times 2^0$$

那么存储在计算机存储器怎么办？负数怎么表示，难道又要保存符号位？
为了提升效率，IEEE 754想到通过类似移位的方式就可以完成操作，因为这部分直接在电路就可以完成。而且还可以增加一位的存储空间，一举两得。

表示值	移位值	存储值
-127	127	0
-126	127	1
-125	127	2
。	。	。
。	。	。
0	127	127
。	。	。
。	。	。
125	127	253
126	127	254
127	127	255

最小值
$$(-1{)}^{-1}\times 1.00000000000000000000000\times 2^{-126}$$
最大值
$$(-1{)}^0\times 1.00000000000000000000000\times 2^{127}$$
绝对值最小值
$$(-1{)}^0\times 1.00000000000000000000000\times 2^{-126}$$

非规约形式的浮点数

如果浮点数的指数部分（e）的编码值是0，分数部分非零，那么这个浮点数将被称为非规约形式的浮点数。非规约形式按照如下表示（这部分的转换在电路层面应该完成了）：
在 e 为 0 且 f 为 不全为0 的时候，就按照以下公式
$$(-1{)}^s\times 0.f\times 2^e$$

浮点数的特殊情况（0，溢值）

这个时候你会想，0(-126)和255(128)到哪里去了？他们用于0和溢值上面了。
在 e 为 255 且 f 为 0 的时候，我们就把这个浮点数认为是 无穷大。
还有就是超过了范围的，因为32位是有限的，上下限超过了，自然就没办法用浮点数来表示了，这种情况就是无穷值。
在 e 为 255 且 f 为 非0 的时候，我们就把这个浮点数认为是 NAN。
最后就是NAN值，有些算数表示式没办法表示的，如负数开平方。

总结以下：

指数位 (e)	有效位（f）	符号(s)	表示
0	0	0或1	0
0	非0	0或1	非规约0.f
255	0	0	正无穷
255	0	1	负无穷
255	非0	0或1	NAN