计算机组成原理中的浮点数

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一、目前通用的IEEE754浮点数值的计算公式要更加复杂与精妙: 

V=(−1)S∗M∗2E（公式1）

1.一个32位的IEEE浮点数的位向量分为三个部分：

[0(符号位） 00000000（阶码位） 00000000000000000000000（小数位）]
从右起，0-23位为小数位，24-31位为阶码位，32位最高位为符号位。

符号位：符号位比较好理解，在公式1中，如果符号位为0，V的值就会为正，如果符号位为1，V的值就会为负。设符号位的值为s。
阶码位：阶码位决定了V的取值范围，但它并不就是等于公式1中的E。设阶码位的值=exp，计算exp的值的方法采用无符号编码规则。
小数位：设小数位的值=frac，计算frac的值的方法是也是定点数表示法， frac[e23e22…e1e0]=e23−1+e22−2+…+e−231+e−240frac[e23e22…e1e0]=e23−1+e22−2+…+e1−23+e0−24。

注意：当一个浮点数的尾数为 0 时，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成 0 值，称为机器零。

计算IEEE浮点数值根据阶码的值分为三种情况：

在不同的情况中，公式1中的E与M的计算方式会有差异：

—情况1，阶码位非全0，并且非全1。这种情况下，浮点数的值被称为规格化的值。
—情况2，阶码位全0。非规格化的值。
—情况3，阶码位全1。特殊值。

先分析与比较32位的浮点数的情况1与情况2：

情况1中E与M的计算方法：
E=exp−Bias，M=1+frac，Bias=2浮点数的阶码位数−1−1（Bias的值:32位为127，64位1024）E=exp−Bias，M=1+frac，Bias=2浮点数的阶码位数−1−1（Bias的值:32位为127，64位1024）
情况2中E与M的计算方法：
E=1−Bias，M=frac，Bias=2浮点数的阶码位数−1−1（Bias的值:32位为127，64位1024）E=1−Bias，M=frac，Bias=2浮点数的阶码位数−1−1（Bias的值:32位为127，64位1024）

情况1之中，E的最小值是[00000001]2−127=−126[00000001]2−127=−126，最大值为[11111110]2—12710=254−127=127[11111110]2—12710=254−127=127。M的最小值是1+[00...00]2=11+[00...00]2=1，最大值为1+[11...11]=(2−ϵ)1+[11...11]=(2−ϵ)非常接近2的一个值。所以V的最大值为，V=(−1)0∗(2−ϵ)∗2127=(2−ϵ)∗1.701411835∗1038≈3.4∗1038V=(−1)0∗(2−ϵ)∗2127=(2−ϵ)∗1.701411835∗1038≈3.4∗1038，此时V的位向量是[0 11111110 11..11]。V的最小值为与最大值相比只是符号位变为了1，V=(−1)1∗(2−ϵ)∗2127≈−3.4∗1038V=(−1)1∗(2−ϵ)∗2127≈−3.4∗1038，V的位向量为[1 11111110 11..11]。V最接近0的值分别在0的两端，为V=(−1)0或1∗1∗2−126=±2−126V=(−1)0或1∗1∗2−126=±2−126。

情况2之中，E的值是唯一的，1-127=-126。M的最小值是[00...00]=0[00...00]=0，最大值为[11...11]=(1−ϵ)[11...11]=(1−ϵ)一个非常接近1的值。V的最大值为，V=(−1)0∗(1−ϵ)∗2−126≈2−126V=(−1)0∗(1−ϵ)∗2−126≈2−126。V的最小值与最大值相比只是符号位变为了1，为(−1)1∗(1−ϵ)∗2−126≈−2−126(−1)1∗(1−ϵ)∗2−126≈−2−126。V的最接近0的值为0，[0 0000000 00…00]。

随着小数位的值的递增以及符号位的变化，匹配值均匀分布在数轴上0的两端，±2−126±2−126之间，每两个匹配值的间距为2−232−23*。

比较情况1和情况2，有几个值得注意的点：
1，E：E决定了数值的取值范围，最小值，最大值，最接近0的正值，以及最接近0的负值。
2，±2−126±2−126:这两个数值犹如一个边界，再数轴上，两个数值的之间为非规格化数值，两个数值之外规格化的数值。规格化的数值最接近0的值分别为V=(−1)0或1∗1∗2−126=±2−126V=(−1)0或1∗1∗2−126=±2−126，非规格化的最大最小值为V=(−1)0或1∗(1−ϵ)∗2−126≈±2−126V=(−1)0或1∗(1−ϵ)∗2−126≈±2−126。在这个边界处，E的值是固定的，-127。这种平滑的过渡是由M在规格化值中的最小值设定1+frac，以及frac的最大值为1−ϵ1−ϵ 的特点所实现的。
3，小数位位数23：在数轴上，±2−126±2−126之间平均分布着223−1223−1个小数匹配值，每两个匹配值之间的间距为2^{-23}。在±2−126±2−126外侧，当frac值为0时，共有254个匹配值向数轴两端指数递增式的蔓延，在这些值中的每两个匹配值之间又有223−1223−1个匹配值，所以小数位的位数基本决定了浮点数的匹配值数量，浮点数的精度。

再看一下情况3，特殊值：

当阶码位全为1时，如果小数位全为0，此数表示无穷大，∞∞，而符号位决定了他是+∞+∞或−∞−∞。例如当一个float值除以0后它的值为无穷。
当阶码位全为1时，如果小数位不全为0，此数为NaN，not a number，不是一个数。两个值为无穷的float相减结果为NaN，如果一个float变量被赋值sqrt(-1)，根号-1，它的值也会变为NaN。