【数字逻辑】——绪论（学习笔记）

原创最新推荐文章于 2026-04-07 06:15:00 发布 3k 阅读 AI写同款

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数字逻辑详解

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【从零开始学习计算机科学】数字逻辑（一）绪论从数字（集成）电路的出现到计算机到网络到今天的移动互联网，数字电路是所有现代信息技术的基础。那么数字电路的基础又是什么呢？就是数字逻辑。所有数字系统都是基于数字逻辑来设计的，而数字逻辑设计的数学基础是布尔代数，数字电路的设计所有行为都必须符合布尔代数的原理。数字逻辑，是处理数字信号的逻辑，数字电路运作的原理，其实质上是指基于二进制数学或布尔代数的逻辑。阅读详情

AI摘要

本文介绍了数字逻辑设计的基础知识，涵盖数字信号的概念与表示方法、不同进制间的转换、二-十进制代码（BCD码）的应用、算术与逻辑运算原理以及数字电路的基本组成。通过实例讲解了二进制、十进制、十六进制和八进制之间的相互转换方法。

📖 前言：21世纪是信息数字化的时代，“数字逻辑设计”是数字技术的基础，是电子、计算机类各专业的主要技术基础课程之一。从天上到陆地，从陆地到海洋。大到卫星，小到玩具。全世界正在经历一场由0和1数字编码来表达和传输信息的一场革命。

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🕒 1. 数字信号

🕘 1.1 概念

在时间上和数量上都不连续，变化总是发生在一系列离散的瞬间，数量大小和每次的增减变化都是某一个最小单位的整数倍，这一类物理量叫做数字量。表示数字量的信号称为数字信号。工作在数字信号下的电路叫做数字电路。
数字电路中采用只有0、1两种数值组成的数字信号。
模拟信号在时间上和数值上都具有连续变化的特点。在某一瞬间的值可以是一个数值区间内的任何值。

🕘 1.2 表示方法

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🕒 2. 进制及其转换

数制：指进位计数制，即用进位的方法来计数，数制包括计数符号（数码）和进位规则两个方面。
常用数制有十进制、十二进制、十六进制、八进制等。

我们以十进制举例：
（1）计数符号： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
（2）进位规则：逢十进一；
（3）十进制数按权展开式：

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🕘 2.1 二进制与十进制之间的转换

二进制数转换为十进制数（按权展开法）
例1：

注：该方法同样适用八进制、十六进制等转为二进制。
十进制数转换为二进制数

方法一：提取2的幂法：
例2：
$45.5)_{10}=32+8+4+1+0.5$
$\times 2^{5}+0 \times 2^{4}+1 \times 2^{3}+1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+1 \times 2^{0}+1 \times 2^{-1}$
$=(101101.1)_{2} \text { }$
方法二（推荐）：除二取余法、乘二取整法
例3：： $75.625)_{10}=（）_2$

答案： $75.625)_{10}=（1001011.101）_2$
注：小数部分保留4位。此外，该方法同样适用转为八进制、十六进制等。

🕘 2.2 二进制与十六进制之间的转换

二进制转十六进制
例4： $101010.110)_2 = ( \ )_{16}$
解： |0010|1010.|1100| 高位补0
2 A . C
答案：2AC
十六进制转二进制
例5： $7A.3)_{16} = ( \ )_2$
解： 7 A . 3
0111 1010. 0011
答案：0111 1010.0011

🕘 2.3 二进制与八进制之间的转换

二进制转八进制
例6： $11011.11)_2 = ( \ )_8$
解： |011|011.|110| 高位补0
3 3 .6
答案：33.6
八进制转二进制
例7： $63.2)_8 = ( \ )_2$
解： 6 3 . 2
110 011 . 010
答案：110 011.010

🕒 3. 二-十进制代码（BCD码）

以二进制码表示一个十进制数的代码，称为二－十进制码，即BCD（Binary Code Decimal）码。

利用 4 位二进制码表示一位十进制数，也就是只能表示0-9，常用的是 8421 BCD 码，其与自然二进制码相似。

十进制转BCD
例8： $639.7)_{10} = ( \ )_{8421BCD}$
解： 6 3 9. 7
0110 0011. 1001. 0111
答案：0110 0011 1001.0111
BCD转十进制
例9： $1000 \ 1001 \ 0011. \ 0111 \ 1001)_{8421BCD} = ( \ )_{10}$
解： |1000|1001|0011.|0111|1001| 高位补0
8 9 3. 7 9
答案：893.79

🕘 3.1 常见的BCD码

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline \begin{array}{c} \text { 十进制 } \\ \text { 数码 } \end{array} & 8421 \text { 码 } & \text { 余3码 } & 2421 \text { 码 } & 5121 \text { 码 } & 631-1 \text { 码 } & \begin{array}{c} \text { 单位间距码 } \\ \text { （格雷码） } \end{array} & \begin{array}{c} \text { 余3 } \\ \text { 循环码 } \end{array} & \text { 移存码 } \\ \hline 0 & 0000 & 0011 & 0000 & 0000 & 0011 & 0000 & 0010 & 0001 \\ \hline 1 & 0001 & 0100 & 0001 & 0001 & 0010 & 0001 & 0110 & 0010 \\ \hline 2 & 0010 & 0101 & 0010 & 0010 & 0101 & 0011 & 0111 & 0100 \\ \hline 3 & 0011 & 0110 & 0011 & 0011 & 0111 & 0010 & 0101 & 1001 \\ \hline 4 & 0100 & 0111 & 0100 & 0111 & 0110 & 0110 & 0100 & 0011 \\ \hline 5 & 0101 & 1000 & 1011 & 1000 & 1001 & 0111 & 1100 & 0111 \\ \hline 6 & 0110 & 1001 & 1100 & 1100 & 1000 & 0101 & 1101 & 1111 \\ \hline 7 & 0111 & 1010 & 1101 & 1101 & 1010 & 0100 & 1111 & 1110 \\ \hline 8 & 1000 & 1011 & 1110 & 1110 & 1101 & 1100 & 1110 & 1100 \\ \hline 9 & 1001 & 1100 & 1111 & 1111 & 1100 & 1101 & 1010 & 1000 \\ \hline \end{array}$

🕤 3.1.1 有权BCD码

每位数码都有确定的位权的码。例如： 8421码、 5421码、2421码（如 5421码1011 代表5+0+2+1=8 ， 2421码1100 代表2+4+0+0=6）

（1） 8421码和代表0-9的二进制数一一对应；
（2） 5421码的前5个码和8421码相同，后5个码在前5个码的基础上加1000构成，这样的码前5个码和后5个码一一对应，仅高位不同；
（3） 2421码前5个码和8421码相同，后5个码以中心对称取反，这样的码称为自反代码，如： 4→0100 ， 5→1011 ， 0→0000 ， 9→1111 。

🕤 3.1.2 无权BCD码

即代码没有确定的位权值，不能按照位权展开求解所代表的十进制数。如表1-3中的余３码、单位间距码、余３循环码等。这些代码都有其特点，适用于不同的场合。（余3码的编码规律为：在8421码上加0011 ， 6的余3码为：0110+0011=1001）

格雷码是一种无权码，其特点是任意两个相邻码组之间只有一位码元不同。典型的n位格雷码中，0和最大数（2ⁿ-1）之间也只有一位码元不同。因此它是一种循环码。

与普通二进制码相比，格雷码在传输过程中引起的误差较小，因为相邻码组中仅有一位码元不同，这样可减小逻辑上的差错，避免可能存在的瞬间模糊状态，所以它是错误最小化代码。

典型格雷码与8421码关系简单，即 $G_i = B_{i+1} \oplus B_i$

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🕒 4. 算术运算与逻辑运算

当两个二进制数码表示数量大小时，它们之间可以进行数值运算，称这种运算为算术运算。二进制数的算术运算法则和十进制数的运算法则基本相同，只是相邻两位之间的关系是“逢二进一”及“借一当二”。
1 位二进制数码0和1，还可表示两种不同的状态，即数字电路中的逻辑状态。此时，二进制数码0和1之间将按照某种逻辑关系进行逻辑运算。

🕒 5. 数字电路

对数字信号进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路。将众多的数字电路基本单元制作在一块半导体基片上，称为集成电路。

$\begin{array}{c|c} \hline \text { 集成电路 } & \text { 包含基本元件的数目 } \\ \hline \text { 小规模集成电路（SSIC） } & 10 \sim 100 \\ \hline \text { 中规模集成电路 (MSIC) } & 100 \sim 1000 \\ \hline \text { 大规模集成电路 (LSIC) } & {1 0 0 0} \sim {1 0 0 0 0} \\ \hline \text { 超大规模集成电路 (VLSIC) } & {1 0 0 0 0} \text { 以上 } \\ \hline \end{array}$