2-3查找树的插入与删除

本片博客前面部分截取自算法(第4版)

定义:

 

查找:

要判断一个键是否存在树中，先将它和根节点中的键比较，如果它和其中任意一个相等，查找命中；否则就根据比较的结果找到指向相应区间的连接，并在其指向的子树中递归地继续查找，如果找到了空连接上，查找未命中。

插入:

插入之前，先要对2-3树进行一次未命中的查找:

1、  向2-节点中插入新键

如果未命中查找结束于一个2-节点，直接将2-节点替换为一个3-节点，并将要插入的键保存在其中

2、  向一颗只含3-节点的树中插入新键

先临时将新键存入唯一的3-节点中，使其成为一个4-节点，再将它转化为一颗由3个2-节点组成的2-3树，分解后树高会增加1

3、  向一个双亲节点为2-节点的3-节点中插入新键

先构造一个临时的4-节点并将其分解，分解时将中键移动到双亲节点中(中键移动后，其双亲节点中的位置由键的大小确定)

4、  向一个双亲节点为3-节点的3-节点中插入新键

一直向上分解构造的临时4-节点并将中键移动到更高层双亲节点，直到遇到一个-2节点并将其替换为一个不需要继续分解的3-节点，或是到达树根(3-节点)。

5、  分解根节点

如果从插入节点到根节点的路径上全是3-节点，根将最终被替换为一个临时的4-节点，将临时的4-节点分解为3个2-节点，分解后树高会增加1

变换:

1、局部变换

将对一个4-节点的分解叫做变换，对一个4-节点的变换方式可能有6种:

这些变换都是局部的，除了相关的节点和链接之外不必修改或检查树的其他部分

2、全局性质:

变换不会影响树的全局有序性和平衡性，任意空链接到根节点的路径长度依旧是相等的

生长:

 

后面部分参考自大话数据结构

删除:

插入之前，先要对2-3树进行一次命中的查找:

1、删除非叶子节点key:

         使用中序遍历下的直接后继节点key来覆盖当前节点key，再删除用来覆盖的后继节点key

2、删除叶子节点key:

a)        当前节点不是2-节点，直接删除key

b)        当前节点是2-节点，删除节点，并作一些判断:

a)        当前节点的双亲节点是2-节点、兄弟节点是3-节点，将双亲节点移动到当前位置，再将兄弟节点中最接近当前位置的key移动到双亲节点中

b)        当前节点的双亲节点是2-节点、兄弟节点也是2-节点，先通过移动兄弟节点的中序遍历直接后驱到兄弟节点，以使兄弟节点变为3-节点；再进行a)的操作

c)        当前节点的双亲节点是3-节点，拆分双亲节点使其成为2-节点，再将再将双亲节点中最接近的一个拆分key与中孩子合并，将合并后的节点作为当前节点

d)        2-3树是一颗满二叉树，将2-3树层树减少，并将兄弟节点合并到双亲节点中，同时将双亲节点的所有兄弟节点合并到双亲节点的双亲节点中，如果生成了-4节点，再分解4-节点即可