红黑二叉查找树

截取自算法(第四版)

替换3-节点：

红黑二叉查找树背后的基本思想是用标准二叉查找树(完全由2-节点构成)和一些额外的信息(替换3-节点)来表示2-3树。

红黑树中的链接分为两种:

1、 将两个2-节点连接起来构成3-节点的红链接

2、 2-3树中的普通链接为黑链接

将两个-2节点用左斜的红色链接链起来可表示3-节点

 

一种等价的定义:

 

一一对应

1、 如果将一颗红黑树中的红链接画平，那么所有的空链接到根节点的距离都是相同的

2、 如果将由红链接相连的节点合并，得到的就是一颗2-3树

3、 红黑树即是二叉查找树又是2-3树

 

 

颜色表示

增加一个颜色域，以表示指向该节点(从他的双亲节点指过来)的链接的颜色。

如果指向该节点的链接是红色的，该节点的颜色域内应该表示为红色，否则表示为黑色

我们约定，空链为黑色。

注:当提及一个节点的颜色时，指的是指向该节点的链接的颜色

旋转

在实现某些操作时可能出现红色右链接或是两条连续的红链接，这是不符合红黑树定义的，我们需要对其进行旋转操作，以改变红链接的方向。

左旋转

 

动画：

右旋转

 

动画：

 

旋转操作:

1、 只是将两个键中的较小者作为根节点变为将较大者作为根节点。

2、 可以保持红黑树的重要性质:有序性、完美平衡、不存在两条连续的红链接、不存在红色的右链接。

向2-节点插入新键

1、 如果新键小于老键，新增一个红色节点，添加后新的红黑树和单个3-节点完全等价

2、 如果新键大于老键，那么新增的红色节点会产生一条红色右链接，需要将其左旋转来修正红色右链接，修正根节点的连接

注:当插入新节点时，总是用红链接将它与双亲节点链接

 

 

 

向一个3-节点插入新键:

将其分为三种情况:

1、新键小于树中的两个键2、新键大小在两者之间3、新键大于树中的两个节点

这三种情况都会产生两条红链接同时链接一个节点的情况，我们应该旋转以修正它:

1) 新键大于原树中的两个键，新键被链接到3-节点的右节点，此时树是平衡的，根节点为中间大小的键，它有两条红链分别和较小、较大的节点相链。将两条红链的颜色变黑，就得到了一颗由三个节点组成，高为2的平衡树。且能对应一颗2-3树。

即：新节点的链接是3-节点的右链接,转换颜色即可

2) 新键小于原树中的两个键，新键被链接到最左边的空链，这时产生了两条连续的左红链，将上层的红链接右旋转使树转换为第(1)种情况

即：新节点的链接是3-节点的左链接，右旋转上层链接再转换颜色

3) 新键介于原树中的两个键之间，也会产生两条连续的红链接，一条左红链接一条右红链接，将下层的红链接左旋转使树转换为第(2)种情况

即：新节点的连接时3-节点的中链接，左旋转下层链接，接着右旋转上层，再转 换颜色

 

 

 

颜色转换：

当原树中根节点各链接出去一个红色链接时，我们应该转换链接的颜色。将链接出去的左右红链接变黑，再将链接到根的链接变红。即将子节点颜色由红变黑，将父节点的颜色由黑变红。

 

颜色的变换是局部的，不会影响整棵树的黑色平衡性。

将红色链接在树中向上传递

                                                                                   

红黑树构造动画：

 

 性能总结：

 

以升序键插入构造红黑二叉查找树

以降序键插入构造红黑二叉查找树

随机插入构造红黑二叉查找树