POJ 1182 食物链（带权并查集）

原来不理解这题怎么做，今天看了一下题解终于理解了。
本文转载自：POJ 1182:食物链[详细！]

题意：

A,B,C三种动物，A吃B， B吃C，C吃A。有n个动物，他们编号为1~n。
输入：第一行n,k,分别表示动物个数，给出k句话（有真有假）。接下来n行每行一句话，每句的格式为三个整数：d,x,y。x,y为动物编号，d为1时表示x,y是同类，d为2时表示x吃y。
说明：假话有三种： 1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话； 2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话； 3） 当前的话表示X吃X，就是假话。
输出：假话的个数。

解析：

一、$relation$的确定

对每一个元素，把它对父节点的关系用数组r[i]表示，即relation，作为权值。
由于数字d指定了后面给出的两个动物的关系：
1） $d=1$时，$d-1=0$，x,y是同类；
2） $d=2$时，$d-1=1$，x吃y
这个权值不是随便定的噢，且看下面推导~！
因此我们设r[i]包含这三种值，表示动物之间的三种关系：
1） $r[i]=0$时，$i$与$p[i]$是同类；
2） $r[i]=1$时，$i$被$p[i]$吃；
3） $r[i]=2$时，$i$吃$p[i]$；
注： p[i]为i的父节点。

二、路径压缩 $find\_set(x)$的节点算法

我们知道，并查集的集合代表元是一个元素，这里规定集合出现的第一个元素是代表元。
为了使查找效率提高，我们需要使树尽可能低，并查集的路径压缩让它只有一层。
那么怎么把将不是直接联系的两个节点成为父子关系？怎样表明他们之间的关系呢？
这是我们接下来要推导的东西

根据儿子对父亲的关系$r$，和父亲对爷爷的关系$r$推出儿子对爷爷的关系$r$：

           i      j          k
     爷爷  父亲   儿子      儿子与爷爷 
           0      0       0=(i + j)%3  
           0      1       1=(i + j)%3  
           0      2       2=(i + j)%3
           1      0       1=(i + j)%3 
           1      1       2=(i + j)%3 
           1      2       0=(i + j)%3 
           2      0       2=(i + j)%3 
           2      1       0=(i + j)%3 
           2      2       1=(i + j)%3

观察即可知道，儿子对爷爷的关系是k=(i+j)%3。
为啥要这样做？
可以画个图理解下。如：X->Y,Y->Z,要把X的父节点设为Z就需要上述步骤。
需要注意的是，每次更新节点的$r[i]$时应该先找到父亲节点再更新，否则会因为给出的话是假话而发生错误。

三、集合间关系的确定

初始时候每个元素都是自洽的，那么有几个集合的时候，怎么确定集合（代表节点）之间的关系？
因为只有确定两个集合（的代表节点）之间的关系才能把两个集合合并最后得到一个并查集。

先给出公式：$r[ry]=(3-r[y]+(d-1)+r[x])%3$

我们分3个小部分来推导：
（例如，由$Y->X->P,Y->Q$，得到$Q->P$。我们需要先得到$Q->X$，再得到$Q->P$）画图更易理解。

(1) 由子对父的关系得到父对子的关系
子对父
0（父子同类） $( 3 - 0 ) \% 3 = 0$
1（父吃子） $( 3 - 1 ) \% 3 = 2$ //父吃子
2（子吃父) $( 3 - 2 ) \% 3 = 1$ //子吃父，一样的哦亲
即 $r[爷爷]=(r[子]+r[父])%3$

(2) $Q->X$，把Y接到X上，使Q成为Y的儿子，进而得到Q对X的$relation$权值：
$r[Q对X]=(r[Y对X]+r[Q对Y])\%3$
$r[Y对X]=d-1$
$r[Q对Y]=3-r[Y]$
故$r[Q对X]=((d-1)+(3-r[y]))\%3$

(3) $Q->P$，最后由$Q->X->P$得到$Q->P$(得到Q对P的 $relation$ 权值：
$r[Q对X]=(r[Y对X]+r[Q对Y])%3$
$r[Q对P]=(r[Y对X]+r[Q对Y]+r[X对P])%3$
故$r[Q对P]=((d-1)+(3-r[y])+r[x])%3$

注意：

题目只有一组样例，如果按照多组来输入会WA。

$my$ $code$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = (int)5e4 + 10;
int pa[N], r[N];

int ans;
int n, K;

void init() {
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        pa[i] = i;
        r[i] = 0;
    }
}

int find(int u) {
    if(u == pa[u]) return u;
    int pre = pa[u];
    pa[u] = find(pre);
    r[u] = (r[u] + r[pre]) % 3;
    return pa[u];
}

void Union(int x, int y, int d) {
    int root1 = find(x);
    int root2 = find(y);
    if(root1 != root2) {
        pa[root2] = root1;
        r[root2] = (3 + (d - 1) + r[x] - r[y]) % 3;
    }else {
        if(d == 1 && r[x] != r[y])
            ans++;
        else if(d == 2 && (3 - r[x] + r[y]) % 3 != 1)
            ans++;
    }
}

int main() {
    int x, y, d;
    scanf("%d%d", &n, &K);
    init();
    ans = 0;
    while(K--) {
        scanf("%d%d%d", &d, &x, &y);
        if(x > n || y > n) {
            ans++;
        }else if(d == 2 && x == y) {
            ans++;
        }else {
            Union(x, y, d);
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}