bzoj 1036 树链剖分解题报告

最新推荐文章于 2019-07-12 10:15:00 发布

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#树链剖分

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树链剖分

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本文详细介绍了一种高效的树形数据结构处理算法——树链剖分。通过将树拆分为若干链并使用线段树等数据结构维护这些链，可以高效地解决树上路径查询等问题。文章提供了完整的实现代码，并通过一个具体的例子展示了算法的应用。

Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

思路

参考了黄哲威学长的网站（大犇）：学长网站

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。

通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。

这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。

通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

具体步骤

预处理

第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]

以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

第二遍dfs

ž根节点为起点，向下拓展构建重链

选择最大的一个子树的根继承当前重链

其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

ž给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作

ž1、单独修改一个点的权值

根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

2、修改点u和点v的路径上的权值

（1）若u和v在同一条重链上

直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

（2）若u和v不在同一条重链上

一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

查询操作

ž查询操作的分析过程同修改操作

题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=30000+5;
const int M=60000+5;
const int Q=100000+5;
int n,q,num,sz;
int pos[N],bl[N],v[N],dep[N],sized[N],head[N],fa[N];
char s[11];
struct data
{
    int v,next;
};
data ed[M];
struct seg
{
    int lf,rt,maxn,sum;
};
seg t[Q];
int max(int x,int y)
{
    if (x>=y) return x;
    else return y; 
}
void build(int u,int v)
{
    ed[++num].v=v;
    ed[num].next=head[u];
    head[u]=num;
    ed[++num].v=u;
    ed[num].next=head[v];
    head[v]=num;
}//注意顺序 
void dfs1(int x)
{
    sized[x]=1;
    for (int i=head[x];i;i=ed[i].next)
    {
        if (ed[i].v==fa[x]) continue;
        dep[ed[i].v]=dep[x]+1;
        fa[ed[i].v]=x;
        dfs1(ed[i].v);
        sized[x]+=sized[ed[i].v];
    }
}
void dfs2(int x,int chain)
{
    int k=0;sz++;
    pos[x]=sz;//分配x结点在线段树中的编号
    bl[x]=chain;
    for (int i=head[x];i;i=ed[i].next)
    if (dep[ed[i].v]>dep[x]&&sized[ed[i].v]>sized[k]) k=ed[i].v;
    //选择子树最大的儿子继承重链
    if (k==0) return ;
    dfs2(k,chain);
    for (int i=head[x];i;i=ed[i].next)
    if (dep[ed[i].v]>dep[x]&&k!=ed[i].v) dfs2(ed[i].v,ed[i].v);
    //其余儿子新开重链
}
void addtree(int k,int L,int R)//建线段树
{
    t[k].lf=L;
    t[k].rt=R;
    if (L==R) return;
    int mid=(L+R)/2;
    addtree(k*2,L,mid);
    addtree(k*2+1,mid+1,R);
}
void change(int k,int x,int y)
{
    int l=t[k].lf,r=t[k].rt,mid=(l+r)>>1;
    if (l==r) {t[k].sum=t[k].maxn=y;return ;}
    if (x<=mid) change(k<<1,x,y);
    else change(k<<1|1,x,y);
    t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum;
    t[k].maxn=max(t[k<<1].maxn,t[k<<1|1].maxn);
}
int querysum(int k,int x,int y)
{
    int l=t[k].lf,r=t[k].rt,mid=(l+r)>>1;
    if (l==x&&y==r) return t[k].sum;
    if (y<=mid) return querysum(k<<1,x,y);
    else if (x>mid) return querysum(k<<1|1,x,y);
    else {return querysum(k<<1,x,mid)+querysum(k<<1|1,mid+1,y);}
}
int querymaxn(int k,int x,int y)//线段树区间求最大值
{

    int L=t[k].lf,R=t[k].rt,mid=(L+R)>>1;
    if (L==x&&y==R) return t[k].maxn;
    if (y<=mid) return querymaxn(k<<1,x,y);
    else if (x>mid) return querymaxn(k<<1|1,x,y);
    else {return max(querymaxn(k<<1,x,mid),querymaxn(k<<1|1,mid+1,y));}
}
int getsum(int x,int y)
{
    int sum=0;
    while(bl[x]!=bl[y])
    {
        if (dep[bl[x]]<dep[bl[y]]) swap(x,y);
        sum+=querysum(1,pos[bl[x]],pos[x]);
        x=fa[bl[x]];
    }
    if (pos[x]>pos[y])swap(x,y);
    sum+=querysum(1,pos[x],pos[y]);
    return sum;
}
int getmaxn(int x,int y)
{
    int maxn=0;
    while(bl[x]!=bl[y])
    {
        if (dep[bl[x]]<dep[bl[y]]) swap(x,y);
        maxn=max(maxn,querymaxn(1,pos[bl[x]],pos[x]));
        x=fa[bl[x]];
    }
    if (pos[x]>pos[y]) swap(x,y);
    maxn=max(maxn,querymaxn(1,pos[x],pos[y]));
    return maxn;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        build(x,y);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&v[i]);
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
    addtree(1,1,n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    change(1,pos[i],v[i]);
    scanf("%d",&q);
    for (int i=1;i<=q;i++) 
    {
        int x,y;
        scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
        if (s[0]=='C') 
        {
            v[x]=y;
            change(1,pos[x],y);
        }
        else
        {
            if (s[1]=='M') printf("%d\n",getmaxn(x,y));
            else printf("%d\n",getsum(x,y));
        }
    }
    return 0;
}