[luogu]P2522 [HAOI2011]Problem b[莫比乌斯反演]

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#gcd #莫比乌斯反演

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本文探讨了一种解决组询问问题的方法，利用莫比乌斯反演算法和容斥原理来高效计算涉及多个参数的数学问题。通过具体的代码实现，展示了如何在给定的数据范围内求解特定数学问题。

题目

$T$ 组询问,每组询问A,B,C,D,K共5个参数计算 $\sum_{A \leq x \leq B,C \leq y \leq D} [gcd(x,y)==k]$

数据范围:所有 $value \leq 50000$

题解

具体解释参考两两gcd问题求解各种思路

设 $F[x],f[x]$ 分别为 $gcd(i,j)$ $(1 \leq i \leq N,1 \leq j \leq M)$ 为 $x$ 倍数和等于 $x$ 的个数,有 $F[n]=\sum_{n|d}f[d]=\lfloor \frac{N}{n} \rfloor\lfloor \frac{M}{n} \rfloor$

由莫比乌斯反演知: $f[n]=\sum_{n|d}\mu (\frac{d}{n})F[d]$

问题即求 $f^{'}[K]$ ,由于上界下界的问题,利用容斥分别计算即可:

以上界进行表示 $ans=solve(B,D)-solve(A-1,D)-solve(B,C-1)+solve(A-1,B-1)$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

using LL = long long;
const int MAXN = 5e4 + 5;
int T, A, B, C, D, K;
bool noprime[MAXN];
int prime[MAXN], cnt_p, mu[MAXN];
void Euler_sieve(int top);
int pre[MAXN];
LL solve(int, int);

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  Euler_sieve(5e4);
  cin >> T;
  while(T--){
    cin >> A >> B >> C >> D >> K;
    LL ans = 0;
    ans += solve(B / K, D / K);
    ans -= solve(B / K, (C - 1) / K) + solve((A - 1) / K, D / K);
    ans += solve((A - 1) / K, (C - 1) / K);
    cout << ans << endl;
  }
  return 0;
}

LL solve(int n, int m){
  int l, r, top = min(n, m); LL res = 0;
  for(l = 1; l <= top; l = r + 1){
    r = min(n / (n / l), m / (m / l));
    res += 1LL * (pre[r] - pre[l - 1]) * (n / l) * (m / l);
  }
  return res;
}

void Euler_sieve(int top){
  int i, j;
  mu[1] = 1;
  for(i = 2; i <= top; i++){
    if(!noprime[i]) prime[++cnt_p] = i, mu[i] = -1;
    for(j = 1; j <= cnt_p && prime[j] * i <= top; j++){
      noprime[prime[j] * i] = true;
      if(i % prime[j] == 0) break;
      mu[prime[j] * i] = -mu[i];
    }
  }

  for(i = 1; i <= top; i++) pre[i] = pre[i - 1] + mu[i];
}