最长回文子串——马拉车算法详解

马拉车算法（Manacher‘s Algorithm）是用来解决求取一个字符串的最长回文子串问题的。此算法充分利用了回文字符串的性质，将算法复杂度降到了线性，非常值得一学。

我将网上所有讲解马拉车算法的文章基本看了一遍，总结出了最通俗易懂的介绍，同时用 python 进行了实现。

题目

给定一个字符串s，找到s中最长的回文子字符串。

所谓回文字符串，指的是无论从左往右读还是从右往左读，结果都是一样的，也叫做对称字符串。

比如 “google” 的最长回文子串为 “goog”。

马拉车算法

这个算法的总框架是，遍历所有的中心点，寻找每个中心点对应的最长回文子串，然后找到所有中心点对应的最长回文子串，与求取一个字符串的最长回文子串中的第4个方法思想类似。

但是，第4个方法的复杂度为 $O(n^2)$，而马拉车算法对其进行了改进，将复杂度变为了线性。

1、字符之间插入特殊字符

回文串的中心点有两种，如果长度为奇数，则回文串中心为最中间的那个字符，如 “aba” 的 “b”；如果长度为偶数，则回文串中心为最中间的两个字符的分界，如 “abba” 的 “bb”。为了统一，马拉车算法首先将字符串的每个字符之间（包括首尾两端）插入一个特殊符号，如#，这个符号必须是原字符串中所没有的。

比如我们的原字符串为

s = "google"

那么插入#号之后，变为了

ss = "#g#o#o#g#l#e#"

这样做之后，字符串的长度肯定是奇数，因为插入的#号的个数一定等于字符个数+1，因此总长度是偶数+奇数=奇数。这样，循环时便不用考虑原字符串长度的奇偶性了。

2、计算半径数组 p

接下来，我们需要想办法计算出一个数组 p，这个数组的长度与处理后的字符串 ss 等长，其中 p[i] 表示以 ss[i] 为中心的最长回文子串的半径（不包括 p[i] 本身），暂且把它成为半径数组。如果 p[i] = 0，则说明回文子串就是 ss[i] 本身。

比如 “#a#b#” 的半径数组为 [0, 1, 0, 1, 0]。

为了在搜索回文子串时避免总是判断是否越界，我们在 ss 的首尾两端加上两个不同的特殊字符，保证这两个特殊字符不会出现在 ss 中。比如为 $ 和 ^。则 ss 变为了

ss = "$#g#o#o#g#l#e#^"

数组 p 的最大半径，就是我们要寻找的最长回文子串的半径。因此只要计算出了数组 p，最后答案就呼之欲出了。

如何计算数组 p

一般的方法，是以中心点为中心，挨个将半径逐步扩张，直至字符串不再是回文字符串。但是这样做，整体的算法复杂度为 $O(n^2)$。马拉车算法的关键之处，就在于巧妙的应用了回文字符串的性质，来计算数组 p。

马拉车算法在计算数组 p 的整个流程中，一直在更新两个变量：

• id：回文子串的中心位置
• mx：回文子串的最后位置

使用这两个变量，便可以用一次扫描来计算出整个数组 p，关键公式为：

p[i] = min(mx-i, p[2 * id - i])

我们用图示来理解这个公式，如下图：

当前，我们已经得到了 p[0…i-1]，想要计算出 p[i] 来。红1为以 j 为中心的回文子串，红2为以 i 为中心的回文子串，红3为以 id 为中心的回文子串（首尾两端分别为mx的对称点和mx）。

那么，如果 mx 在 i 的右边，则我们可以通过已经计算出的 p[j] 来计算 p[i]，其中 j 与 i 的中心点为 id。这里分两种情况：

• 先直接令 p[i] 的回文子串就等于 p[j] 的回文子串，即红2长度等于红1，然后判断红2的末尾是否超过了 mx，如果没有超过，则说明 p[i] 就等于 p[j]。
  为什么呢？
  因为以 id 为中心的回文子串为红3，包含了红1和红2，而且红1和红2以 id 为中心，那么一定有红2=红1。并且已经知道，红1是以 j 为中心的最长子串，那么红2也肯定是以 i 为中心的最长子串。
• 如果红2的末尾超过了 mx，那么就只能让 p[i] = mx - i了，即我可以保证至少半径到 mx 这个位置，是可以回文的，但是一旦往右超出了 mx，就不能保证了，剩下的只能用笨方法慢慢扩张来得到最长回文子串。

那如果红2的左边超出了mx的对称点，怎么办？不会出现这种情况的，因为红1的右边不会超过mx。如果超过了mx，那么在上一次迭代中，id应该更新为j，mx应该更新为 j+p[j]。在迭代中，会始终保证 mx 是所有已经得到的回文子串末端最靠右的位置。

另外，如果 mx 不在 i 的右边呢？那就利用不了红3的对称性了，只能使用笨方法慢慢扩张了。

3、数组 p 中的最大值，即为最长回文子串的半径

根据半径数组 p 的定义，如果最大值对应位置为 i，则最大回文子串为 ss[i - p[i] : i + p[i] + 1]。

python 实现

马拉车的代码如下，其中 center 即为 id，且特殊字符使用的是 \0,\1,\2。

def longestPalindrome5(s):
    """
    :type s: str
    :rtype: str

    马拉车算法。Manacher发明出来的。
    时间复杂度为O(n)。
    """
    if len(s) <= 1:
        return s

    # 每个字符之间插入 \1
    ss = '\0\1' + '\1'.join([x for x in s]) + '\1\2'
    p = [0] * len(ss)
    center = 0
    mx = 0
    max_str = ''
    for i in range(1, len(p)-1):

        if i < mx:
            j = 2 * center - i # i 关于 center 的对称点
            p[i] = min(mx-i, p[j])

        # 尝试继续向两边扩展，更新 p[i]
        while ss[i - p[i] - 1] == ss[i + p[i] + 1]: # 不必判断是否溢出，因为首位均有特殊字符，肯定会退出
            p[i] += 1

        # 更新中心
        if i + p[i] > mx:
            mx = i + p[i]
            center = i

        # 更新最长串
        if 1 + 2 * p[i] > len(max_str):
            max_str = ss[i - p[i] : i + p[i] + 1]

    return max_str.replace('\1', '')