详解马拉车算法中的半径数组计算方法

最近有个朋友给我介绍tx的面经时提到了最长回文子串问题，这才知道原来还有时间复杂度为O(n)的解法——Manacher算法，于是去翻了翻博客，发现对于半径数组p的讲解都非常难懂，为了节约以后自己复习算法的时间，特地写一篇博客来好好理解这一部分的内容。在浏览本文前，请确保自己已了解O(n²)的算法，因为Manacher算法本质上是对于O(n²)算法的一种优化。
先给出我学习这个算法时主要参考的博客：https://blog.youkuaiyun.com/happyrocking/article/details/82622881

一、两个辅助指针

在计算半径数组p时，一般会涉及到两个指针：id和mx，这两个指针是根据已发现的右边界位置最大的回文子串来定义的（请区分实际的最长回文子串和”已发现的右边界位置最大的回文子串“），其中id是上述回文子串的中心位置，mx是上述回文子串的右边界位置（也就是末尾的位置）。
举个例子：
假设字符串s="#g#o#o#g#l#e#"

位置i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
s[i]	#	g	#	o	#	o	#	g	#	l	#	e	#

和O(n^2)的算法类似，我们每次以位置i为中心寻找最长回文子串。
当i=4时，已发现的右边界位置最大的回文子串是“#o#”，我们可以更新id=4，mx=5。
当i=5时，已发现的右边界位置最大的回文子串是“#g#o#o#g#”，我们更新id=5，mx=9。

二、利用回文串特性降低时间复杂度

可能有人会有疑问：既然还是要像O(n²)的算法一样以位置i为中心寻找最长回文子串，那是怎么做到把时间复杂度降低为O(n)的呢？其关键就在于mx——当i<mx时，我们利用回文串的特性来避免“以位置i为中心寻找最长回文子串”这一操作。如果i<mx时每次操作的复杂度是O(1)，那么一旦mx为原字符串最末端，那么之后的总操作复杂度最多也就是O(n)；而mx扩展到最末端所需的时间复杂度最多也是O(n)，所以整个算法的时间复杂度就是O(n)。
以上说法只是为了便于理解，非常不严谨，真正的推导过程请自寻查找。
那么接下来的重点就很明显了：当i<mx时，如何利用回文串的特性来避免“以位置i为中心寻找最长回文子串”这一操作呢？很多博客都是用下面这张图来讲的（包括我主要参考的那篇）：