本文介绍了代数结构的基础概念，包括半群、幺半群、群、循环群和置换群的定义及其特性。通过具体实例解释了这些抽象概念，帮助读者理解代数结构的基本原理。
1. 半群
设<S,∗><S,*><S,∗>为一代数系统，若运算" * "满足结合律，即∀x,y,z∈S\forall x,y ,z \in S∀x,y,z∈S，有(x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z=x*(y*z)(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，则称<S,∗><S,*><S,∗>为半群。
2. 幺半群
设<S,∗><S,*><S,∗>为一半群，若<S,∗><S,*><S,∗>中有单位元，即存在e∈Se \in Se∈S，使得∀x∈S\forall x \in S∀x∈S，xe=ex=xxe=ex=xxe=ex=x，则称<S,∗><S,*><S,∗>为幺半群(有1半群、独立点)
3. 群
设<G,∗><G,*><G,∗>为幺半群，如果∀a∈G\forall a \in G∀a∈G，aaa的逆元a−1a^{-1}a−1均存在，则称<G,∗><G,*><G,∗>为群。换而言之，一代数系统<G,∗><G,*><G,∗>。如果满足下列条件：
（1）结合律成立，(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)，∀a,b,c∈G\forall a,b,c \in G∀a,b,c∈G
（2）GGG中有单位元eee，ea=ae=aea=ae=aea=ae=a，∀a∈G\forall a \in G∀a∈G
（3）∀a∈G\forall a \in G∀a∈G，存在a−1∈Ga^{-1} \in Ga−1∈G使a−1a=aa−1=ea^{-1}a=aa^{-1}=ea−1a=aa−1=e
称<G,∗><G,*><G,∗>为群。
4. 循环群
设GGG是一个群，如果存在a∈Ga \in Ga∈G，使得G=(a)={ai∣i∈Z}G=(a)=\{a^i |i \in Z\}G=(a)={ai∣i∈Z}，称GGG为由aaa生成的循环群，aaa为其生成元。
5. 置换群
有限集SSS到自身的双射称为SSS上的置换，当∣S∣=n|S|=n∣S∣=n时，SSS上的置换也称为nnn次置换。
-
例：
设S={1,2,…,n}S=\{1,2,\dots,n\}S={1,2,…,n}，要确定SSS上的一个置换δ\deltaδ，只要给出SSS中任一元素iii在δ\deltaδ下的象即可，因此，δ\deltaδ可以表示成如下形式
δ=(12…nδ(1)δ(2)…δ(n)) \delta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\\ \delta(1) & \delta(2) & \dots & \delta(n) \\ \end{pmatrix} δ=(1δ(1)2δ(2)……nδ(n)) -
例：
(12342431)=(124)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2& 4 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} =(1 \quad 2 \quad 4)(12243341)=(124)(12341324)=(24)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1& 3 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} = (2 \quad 4)(11233244)=(24)
(12341234)=(1)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1& 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} = (1)(11223344)=(1)
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