排列的生成(三) —— 邻位互换法

1. 定义

是由Johnson-Trotter首先提出。如果已知n-1个元素的排列，将n插入到排列的不同位置，就得到了n个元素的排列。也可以直觉地认为，只要把排列中任意相邻的两个元素交换位置，就可以得到一个新的排列。

2. 算法

以$1^{\leftarrow }{2}^{\leftarrow }{3}^{\leftarrow }{4}^{\leftarrow }$为初始排列，剪头所指一侧，相邻的数若比它小时，则称该数处在活动状态，$1^{\leftarrow }{2}^{\leftarrow }{3}^{\leftarrow }{4}^{\leftarrow }$的2,3,4都处于活动状态。
$p_1{p}_2\dots p_n$生成下一个排列的步骤：

• S1: 若$p_1{p}_2\dots p_n$没有数处于活动状态则结束。
• S2: 将处于活动状态的各数中值最大者设为$m$，则$m$和它的剪头所指一侧相邻的数互换位置，而且比$m$大的所有数的剪头改变方向，即$\to$改为$\leftarrow$，$\leftarrow$改为$\to$，转S1。

2.1 求排列1234的下一个排列

2.2 求排列12345生成的第100个排列数是多少

通过2.1可以看出每个数字经过多少次排列向左或向右(初始移动是向左)移动一位，如下表

数字	2	3	4	5
次数	60(3 ×4×5)	20(4×5)	5(1×5)	1

所以这100次排列当中，

• 5排列了100次
• 4排列了20次
• 3排列了5次
• 2排列了2次。

因为总共有5位数，所以5每经过10次排列后会回到起点，4每经过8次排列后会回到起点，3经过6次排列后会回到起点，2不会回到起点，2最多只能排列2次。因此
（1）100/10=10，余数为0，说明此时5在第5位。（考虑全部数字）—— _ _ _ _ 5
（2）20/8=2，余数为4，说明此时4在第1位。（不考虑数字5）—— 4 _ _ _ 5
（3）5/6=0，余数为5，说明此时3在第2位。（不考虑数字4,5）—— 4 _ 3 _ 5
（4）2排列了2次，此时的对应的两位数是21。（不考虑数字3,4,5）—— 4 2 3 1 5
因此排列12345生成的第100个排列数是42315。

2.3 求 23541是排列12345生成的第几个排列

12345生成的排列总共有$5!=120$个。
通过2.2分析知道
（1）不考虑345，序列21表明了2排列了2次（移动了1次）
（2）不考虑45，序列231表明3排列了5次（移动了4次）
（3）不考虑5，序列2341表明4排列了18次（移动了17次）
此时，根据2.2的表就可以猜了，5排列了至少max⁡{1×60+1,4×20+1,17×5+1}=max⁡{61,81,86}=86\max \{1\times 60+1,4\times20+1,17\times 5+1\}=\max\{61,81,86\}=86max{1×60+1,4×20+1,17×5+1}=max{61,81,86}=86次刚好满足上述要求，最后一个要求是要满足5的位置，5处于第3位，86/10=6余数是1，说明这是5还在第1位，增加1次排列即可让5在第3位而又可以满足(1)(2)(3)条件，此时可知88即为最终所求。