排工问题

最新推荐文章于 2024-02-19 16:01:05 发布

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最新推荐文章于 2024-02-19 16:01:05 发布 · 742 阅读

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#排工问题 #组合优化

这篇博客探讨了排工问题，即n个工件依次通过A、B两个机床加工，目标是最小化总加工时间。通过举例和数学解析，详细阐述了解决该问题的动态规划方法，包括状态定义、最优加工时间和状态转移方程，并证明了选择加工顺序的条件。

1. 问题描述

$n$ 个工件，每个工件都要按顺序经过 $A$ 、 $B$ 两个机床进行加工，工件i在 $A$ 、 $B$ 两个机床上加工时间分别为 $a_i$ ， $b_i$ ，确定 $n$ 个工件的加工顺序，使得总加工时间最短。

2. 例子描述

例子1

机床	N1	N2
A	4	2
B	1	3

先加工N1，所需总时间为4＋2＋3＝9，先加工N2，所需总时间为2＋4＋1＝7。

例子2

机床	1	2	3	4	5
A	3	7	4	5	7
B	6	2	7	3	4

加工顺序为13542。

3. 问题解决

状态(X,t)： $X$ 中是还没有经过 $A$ 机床加工的工件， $t$ 是 $B$ 机床加工X外的工件还需要的时间，如果取为下一个放在 $A$ 上加工的工件，则i在 $A$ 上完成加工时达到下一个状态 $X－i，z_i(t))$ ，其中
$\begin{aligned} z_{i}(t) &=\left\{\begin{array}{ll}{b_{i},} & {t \leq a_{i}} \\ {t-a_{i}+b_{i},} & {t>a_{i}}\end{array}\right. \\ &=\max \left\{t-a_{i}, 0\right\}+b_{i} \\ &=\max \left\{t-a_{i}+b_{i}, b_{i}\right\} \end{aligned}$
令 $f (X, t)$ 为处于状态 $(X, t)$ 时剩余的最优排工时间，则 $f (X, t)$ 是 $t$ 的单调上升函数，且
$\left\{\begin{array}{l}{f(X, t)=\min _{i \in X}\left\{a_{i}+f\left(X-i, z_{i}(t)\right)\right\}} \\ {f(\phi, t)=t}\end{array}\right.$
$f({1,2,…,n},0)$