图论基础知识(一) —— 图

一、定义

定义1：图

设V是一个非空集合，E是一个V中元素的无序对构成的多重集，有序对G=<V, E>称为一个图(graph)。其中，V称为顶点集，其元素称为顶点或点(vertex)，E称为边集，其元素为边(edge)。

定义2：关联、邻接

设G是一个图，u、v∈V(G)，e = uv ∈E(G)，称u、v为e的端点，e为连接u、v的边，并称顶点u、v与边e彼此关联(incident)，顶点u和v是邻接的(adjacent)。

定义3：相邻边、相邻点

在任意图中，同一条边关联的两个点，称为相邻点，同一个点关联的诸多边称为相邻边。

定义4：自环、多重边

设G是一个图，若e∈G的两端点重合为一点，即e = uu，则e为自环，若uv∈E(G)的重复度 > 1，则称uv是多重边。

定义5：度数、孤立点、悬挂点、奇顶点、偶顶点

设G是一个图，v∈V(G)，与v相关联的边数(自环计算两次)称为v的度数，记为$d_G(v)$或简记为$d(v)$。度数为0的点称为孤立点，度数为1的点称为悬挂点，度数为奇数的点称为奇顶点，度数为偶数的点称为偶顶点。

图G中顶点的最小度数即为$\delta (G)$，最大度数记为$\Delta (G)$，即
δ(G)=min⁡{d(v)∣v∈V(G)}Δ(G)=max⁡{d(v)∣v∈V(G)} \delta(G) = \min \{d(v) | v \in V(G)\} \\ \Delta(G) = \max \{d(v) | v \in V(G)\} δ(G)=min{d(v)∣v∈V(G)}Δ(G)=max{d(v)∣v∈V(G)}

定义6：有限图、顶点数、边数

设G是图，若V(G)和E(G)均是有限集，则称G为有限图。用v(G)或v表示图G的点数，用ε(G)或ε表示图G的边数。

定义7：平凡图、零图、简单图、多重图

（1）设v = 1，ε = 0, 称G是平凡图。
（2）如果ε = 0，称G是零图。
（3）不含多重边和自环的图称为简单图。
（4）含有多重边的图称为多重图。

定义8：完全图

设G是一个简单图，如果G中任何两顶点之间均有边相连，则称G为完全图，具有n个顶点的完全图记为$K_n$。

定义9：二分图

设G是一个图，如果存在V(G)的子集$V_1$、$V_2$使得$V_1\cup V_2=V(G)$，$V_1\cap V_2=\varnothing$，且$V_1$中任意两点不相邻，$V_2$中任意两点不相邻，则称G为二分图，并称{V1,V2}\{V_1,V_2\}{V1​,V2​}为G的一个二划分，进一步，若$V_1$中每一点皆与$V_2$中所有点相邻，则称G为完全二分图，且当$|V_1|=m$，$|V_2|=n$，将其记作$K_{m,n}$。

定义10：正则图

设G是一个图，k是一个常数，若G中每个顶点的度数均为k，则称G为k次正则图。

定义11：子图、真子图、生成子图

设G、H是两个图，如果V(H)⊆V(G)，E(H)⊆E(G)，则称H是G的子图，记为H⊆G。若H⊆G且H≠G称H是G的真子图，记作H⊂G。若H⊆G且V(H) = V(G)，称H是G的生成子图。

定义12：边导出子图、点导出子图

设G是一个图，$E_1\subseteq E(G)$，以$E_1$为边集，$E_1$中边的端点，$E_1$中边的端点全体为顶点集构成的子图，称为由$E_1$导出的G的子图(边导出子图)，记为$G(E_1)$。又设$V_1\subseteq V(G)$，以$V_1$为顶点集，端点均在$V_1$中的边的全体为边集，构成的子图，称为由$V_1$导出的G的子图(点导出子图)，记为$G(V_1)$。

定义13：补图

设G是具有n个顶点的简单图，从这n个点构成的完全图$K_n$中删去G的所有边，但保留顶点集V(G)所得到的图称为G的补图，简称G的补，记为~G。

定理

定理1(握手定理)

对任一图G，有
$$\sum _{v\in V(G)}d(v)=2ϵ$$
推论  任意图中奇顶点的个数必为偶数