PAT-A1049解题报告

题目大致意思是要求出1~N中数出现的1的个数。有种很直接的办法就是枚举1~N中的数，统计每个数共有多少位出现1，最后把结果累加起来。但这种办法在数据量大时用时过长，我们可以换个角度思考，把会被记录到总数的1按照位进行划分，统计第i位为1的在1~N中数字的个数，把得到的结果累加起来，就能得到1~N中数出现的1的个数。

举例

令N = 30710，从第一位开始统计每一位为1时数字的个数。

1. 第一位为1时
   为了不超过N，第一位的前面四位可以取0000,0001,...,3070，如果取3071就会得到30711超过30710。
2. 第二位为1时
   此时第二位前的三个数可以取000,001,...,306，最后一位可以取任意的0~9中的数。
   当前三位取307时，最后一位就只能取0了
3. 第三位取1时
   此时前两位可以取00,01,...,30，而后两位可以取00,01,...,99
   以此类推

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规律

设我们要讨论的数是N，讨论N的一位（用a表示，讨论下一位时就让a乘以10），该位为now，N在now左侧的部分大小为left，右侧部分为right，该位为1的数字个数为ans，满足等式：

1. 若now = 0，ans = left * a
2. 若now = 1，ans = left * a + right + 1
3. 若now > 1，ans = (left + 1) * a

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实现

只要维护一个迭代过程中不断乘以10表示进一位的数a，left,now,right都可以通过除法和求余得到。