本文详细介绍了概率论中的基本概念，包括随机事件、样本空间、事件的关系与运算。阐述了概率的定义、概率公理，以及条件概率、逆概率、减法公式、加法公式、乘法公式和全概率、贝叶斯公式等核心概念。同时，讨论了古典概型、几何概型和伯努利概型，并提到了事件的独立性和互斥性的区别。
随机事件和概率
文章目录
1. 随机事件，事件间的关系和运算
1.1 概念
随机试验
- 条件相同
- 可能的结果不止一个，且结果已知
- 无法预知
样本点：每一可能的结果
样本空间Ω：全部的样本点组成的集合
随机事件：样本空间的子集
基本事件：单个样本点组成的事件
必然事件和不可能事件
1.2 事件的关系与运算
3种关系(包含，相等，互斥)，4种运算（并，交，差，补）
- A发生必然导致B发生，表示：
A ⊂ B A \subset B A⊂B
-
如果A包含B，B包含A，那么AB相同，A = B
-
AB至少有一个发生：A U B，或写作A+B
-
AB都发生：A ∩ B ， 或写作AB
-
A不发生，（叫做：“A拔”）
A ‾ \overline{A} A -
A发生但是B不发生：A - B，或A - AB，或A（B拔）
-
AB 互斥，也称AB互不相容。AB = 空集
A B 对 立 < = > A ∪ B = Ω 且 A B = ∅ AB对立 <=> A ∪ B = Ω 且 AB = \varnothing AB对立<=>A∪B=Ω且AB=∅A B 互 斥 < = > A B = ∅ AB互斥 <=> AB = \varnothing AB互斥<=>AB=∅
运算律：常规的交换律，结合律，分配律都满足。注意摩根定律和吸收律
吸收律：若A包含于B，则AB = A
对偶律：也称摩根律
A
∪
B
‾
=
A
‾
∩
B
‾
\overline{A∪B} = \overline{A} ∩ \overline{B}
A∪B=A∩B
A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B} A∩B=A∪B
注意：
A
∩
B
‾
≠
A
‾
B
‾
\overline{A ∩ B} ≠ \overline{A } \overline{B}
A∩B=AB
2. 概率及概率公式
2.1 概念
实值函数P，满足2.2基本性质的三个条件，称P（A）是事件A的概率。
2.2 概率公理
- 基本性质
非负性（任意事件）：P(A) >= 0
规范性（必然事件）：P(Ω) = 1
可列可加性：设Ai 两两互不相容，则
P
(
A
1
∪
A
2
∪
.
.
.
∪
A
n
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
.
.
.
+
P
(
A
n
)
P(A_1 ∪A_2∪...∪A_n) = P(A_1) + P(A_2) +... + P(A_n)
P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
- 条件概率
事件A发生的条件下，事件B发生的概率：（前提P(A)>0）
条
件
概
率
：
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
条件概率：P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}
条件概率：P(B∣A)=P(A)P(AB)
注意：P（BC|A）有意义，但是P（C|B|A）无意义
- 求逆公式
P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline{A}) = 1 - P(A) P(A)=1−P(A)
- 减法公式
P ( A − B ) = P ( A B ‾ ) = P ( A − A B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B) = P(A\overline{B}) = P(A - AB) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(AB)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)
- 加法公式
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+ P(C) - P(AB)- P(AC)- P(BC) + P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
- 乘法公式
当P(A)>0时：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P(AB) = P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B∣A)
当P(A1A2…An)>0时：
P
(
A
1
A
2
.
.
.
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
∣
A
1
)
.
.
.
P
(
A
n
)
P
(
A
1
A
2
.
.
.
A
n
−
1
)
P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n)P(A_1A_2...A_n-1)
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An)P(A1A2...An−1)
理解：假设你要考研究生，你要初试和复试一起过才考得上：
考研成功的概率 = 你考过了初试的概率 * 在你初试过了之后，考过复试的概率
拓展：
P
(
B
‾
∣
A
)
=
1
−
P
(
B
∣
A
)
P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)
P(B∣A)=1−P(B∣A)
- 全概率公式
设B1B2B3…是互不相容，但是并起来等同于样本空间的事件，且发生的概率都大于0.
这样的Bi的事件组合起来叫完备事件组
P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i) P(A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)
- 贝叶斯公式
B还是样本空间的完备事件组，相当于就是条件概率的定义，全部分解
P ( B j ∣ A ) = P ( B j ) P ( A ∣ B j ) ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(B_j | A) = \frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)} P(Bj∣A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bj)P(A∣Bj)
3. 古典概型、几何概型和伯努利概型
概念
事件独立性：A的发生对B没有影响，称AB独立
A
B
独
立
<
=
>
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
<
=
>
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
B
)
AB独立 <=> P(AB) = P(A)P(B) <=> P(B|A) = P(B)
AB独立<=>P(AB)=P(A)P(B)<=>P(B∣A)=P(B)
古典概型概率：有限等可能
P
(
A
)
=
n
A
n
=
A
所
包
含
的
样
本
点
数
样
本
点
总
数
P(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{A所包含的样本点数}{样本点总数}
P(A)=nnA=样本点总数A所包含的样本点数
几何型概率：样本点无数，几何度量（长度，面积，体积）等可能
P
(
A
)
=
L
(
Ω
A
)
L
(
Ω
)
=
Ω
A
的
几
何
度
量
Ω
的
几
何
度
量
P(A) = \frac{L(Ω_A)}{L(Ω)} = \frac{Ω_A的几何度量}{Ω的几何度量}
P(A)=L(Ω)L(ΩA)=Ω的几何度量ΩA的几何度量
伯努利试验：只有两个结果A及A拔（助记：boolean test）
n重伯努利试验：独立重复进行n次伯努利试验。
补例
-
事件独立
若A和B独立，那么A的是否发生和B无关，即
A 和 B ‾ 也 独 立 A和\overline{B}也独立 A和B也独立
独立和互斥的没有直接关系的。独立是无影响，互斥是排斥。 -
几何概型
向[0,1]随机地投一个点
- 点恰好落在x = 1/2 处的概率为 0/1 = 0
- 点落在（0，1）内的概率为 1-0/1-0 = 1
但是，这里的概率为1 的事件，并非是必然事件；概率为0的事件，并非是偶然事件
4. 补充
-
完成某个事件有m类方法，使用加法。
-
完成某个事件有n个步骤，使用乘法。
-
排列组合公式：
-
n个球里面不放回地选取m个进行排列
P n m = n ! ( n − m ) ! = n ( n − 1 ) . . . ( n − m + 1 ) P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)...(n-m+1) Pnm=(n−m)!n!=n(n−1)...(n−m+1) -
n个球里面不放回地选择m个（不管顺序）
C n m = P n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!Pnm=m!(n−m)!n!
-
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