本文深入探讨了概率统计中的关键概念和解题技巧，包括最大似然估计法、随机变量函数的分布、几何数列求和、切比雪夫不等式以及卡方、t和F分布。此外，还讲解了正态分布参数的读取、显著性水平、无偏估计量、协方差和相关系数的计算，以及二维正态分布的相关知识。通过实例解析了协方差的性质和计算，以及如何验证随机变量的独立性。最后，介绍了伽马函数和常见分布的期望与方差。内容全面，适合概率统计学习者参考。
这个知识点比较零碎。
文章目录
- 1. 基础知识：连续型总体的最大似然估计法
- 2. 解题技巧：随机变量函数的分布
- 3. 解题技巧：几何数列求和
- 4. 基础知识：切比雪夫不等式
- 5. 基础知识：卡方分布，t分布，F分布
- 6. 解题技巧：从分布函数读取正态分布函数参数
- 7. 基础知识：显著性水平
- 8. 基础知识：无偏估计量
- 9. 基础知识：协方差Cov(X，Y)
- 10. 基础知识：相关系数
- 11. 解题技巧：二维正态分布
- 12. 知识应用：二维正态分布的条件密度
- 13. 解题技巧：二维连续型随机变量的边缘密度
- 14. 基础知识：验证离散型和连续型随机变量相互独立
- 15. 解题技巧：伽马函数——概统专属定积分（类正态分布）
- 16. 基础知识：几个分布的期望方差（均匀、泊松..）
1. 基础知识：连续型总体的最大似然估计法
2. 解题技巧：随机变量函数的分布
3. 解题技巧：几何数列求和
4. 基础知识：切比雪夫不等式
5. 基础知识：卡方分布，t分布，F分布
正态总体的抽样分布
6. 解题技巧：从分布函数读取正态分布函数参数
7. 基础知识：显著性水平
8. 基础知识：无偏估计量
9. 基础知识：协方差Cov(X，Y)
协方差的定义：
需要注意的是，协方差内部的Y可以进行加减乘除，假设题目给出Y = aX1 +bX2+c，一般需要展开计算。
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
C
o
v
(
X
,
a
X
1
+
b
X
2
+
c
)
Cov(X,Y) = Cov(X,aX_1+bX_2+c)
Cov(X,Y)=Cov(X,aX1+bX2+c)
=
C
o
v
(
X
,
a
X
1
)
+
C
o
v
(
X
,
b
X
2
)
+
C
o
v
(
X
,
c
)
= Cov(X,aX_1) + Cov(X,bX_2) + Cov(X,c)
=Cov(X,aX1)+Cov(X,bX2)+Cov(X,c)
=
a
C
o
v
(
X
,
X
1
)
+
b
C
o
v
(
X
,
X
2
)
+
0
= aCov(X,X_1) + bCov(X,X_2) + 0
=aCov(X,X1)+bCov(X,X2)+0
如果是给出方差之间的关系，则应用下面的式子：
D
(
X
+
Y
)
=
D
(
X
)
+
D
(
Y
)
+
2
C
o
v
(
X
，
Y
)
D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
推导如下：先变成协方差形式，然后再拆开。
D
(
X
+
Y
)
=
C
o
v
(
X
+
Y
,
X
+
Y
)
D(X+Y) = Cov(X+Y,X+Y)
D(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)
C
o
v
(
X
+
Y
,
X
+
Y
)
=
C
o
v
(
X
,
X
)
+
2
C
o
v
(
X
,
Y
)
+
C
o
v
(
Y
,
Y
)
Cov(X+Y,X+Y) = Cov(X,X) + 2Cov(X,Y) + Cov(Y,Y)
Cov(X+Y,X+Y)=Cov(X,X)+2Cov(X,Y)+Cov(Y,Y)
这里的Cov（X，X） = D（X）
当然，如果是相减关系，可以看作是加上“-Y”：
D
(
X
−
Y
)
=
D
(
X
)
+
D
(
−
Y
)
+
2
C
o
v
(
X
，
−
Y
)
D(X-Y) = D(X)+D(-Y)+2Cov(X，-Y)
D(X−Y)=D(X)+D(−Y)+2Cov(X，−Y)
D
(
X
−
Y
)
=
D
(
X
)
+
D
(
Y
)
−
2
C
o
v
(
X
，
Y
)
D(X-Y) = D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)
D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X，Y)
看一道真题检验一下：
答案是B
10. 基础知识：相关系数
11. 解题技巧：二维正态分布
12. 知识应用：二维正态分布的条件密度
13. 解题技巧：二维连续型随机变量的边缘密度
14. 基础知识：验证离散型和连续型随机变量相互独立
只需验证：
P ( X = u , Y ≤ c ) = P ( X = u ) P ( Y ≤ c ) P(X=u,Y≤c ) = P(X=u) P(Y≤c) P(X=u,Y≤c)=P(X=u)P(Y≤c)
15. 解题技巧：伽马函数——概统专属定积分（类正态分布）
伽马函数的定义：（实数域上）
伽马函数的表达式：
也就是这样的结论：
推导如下：（靠分部积分）
特例：需要记住n不为整数（1/2）的情况：
16. 基础知识：几个分布的期望方差（均匀、泊松…）
-
均匀分布，期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。
-
二项分布，期望是np，方差是npq。
-
泊松分布，期望是λ、方差也是λ。
这里的k最小为0，记住它！
-
指数分布，期望是1/θ,方差是1/(θ的平方)。
-
正态分布，期望是u，方差是&的平方。
几何图像如下：
- 几何分布
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