Solitaire （dp）

最新推荐文章于 2020-04-27 09:12:44 发布

原创最新推荐文章于 2020-04-27 09:12:44 发布 · 385 阅读

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本文探讨了一种使用动态规划方法解决特定序列计数问题的策略，具体为计算从1到n的序列中，每次从两端取数，使得第k个数为1的情况总数。文章详细介绍了状态定义、状态转移方程以及实现代码。

每次从 $1 . . . n$ 往两边加数每次取的时候从两边取问第 $k$ 个是 $1$ 的情况一共有多少是成立的

首先我们可以通过观察得出，我 $1 . . . n$ 加数的这个数列一定是一个 $v$ 字形的这么一个序列，然后 $1$ 在最中间

那么这样的话我取到 $1$ 的话是不是说明我前面的 $k - 1$ 一定可以是一个降序序列或者是两个降序序列

那么求一下这个个数我可以 $d p$ 一下

设 $f [i] [j]$ 表示我已经填了前 $1 . . . i$ 这么多个位置了我前面填过的数中最小的是 $j$

那我可以知道我现在其实是假设有两个栈然后分别取数的方案数

比如我取 $9872$

这样如果下一个数一定要比我大的话方案数必须只能转移到当前空缺位置的最大否则就是无效的

或者可以选择转移到所有比我小的地方累积一下方案数

相当于我这个 $d p$ 要求这样的有多少个那么 $f [i + 1] [j]$ 自然可以由上一层的 $f [i] [j + 1] + f [i + 1] [j + 2] + \dots .$ 得到

然后针对这个做一个前缀和优化

变成 $n^2$ 的情况然后转移的时候要注意一些细节比如如果 $k$ 是 $0$ 的情况

然后那么只要前面 $k$ 个都确定了剩下的我是不是还是随便选啦

可以当作是 $d p$ 就是每次从两边选一个的方案数一共是多少

那么前面 $k$ 个确定了后面我随便放

方案数就是 $2^{n-k-1}$ 种方案数,因为这次一定剩下的是一条递增的序列了我想怎么取就怎么取

最后统计答案的时候我只需要把前 $k - 1$ 位的所有情况都取出来

然后后 $n - k$ 让他随便排乘一乘就好

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <string>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std ;
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define loop(s, v, it) for (s::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
#define cont(i, x) for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ass(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & -x)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define iv inline void
#define enter cout << endl
#define siz(x) ((int)x.size())
#define file(s) freopen(s".in", "r", stdin), freopen(s."out", "w", stdout)
typedef long long ll ;
typedef unsigned long long ull ;
typedef pair <int, int> pii ;
typedef vector <int> vi ;
typedef vector <pii> vii ;
typedef queue <int> qi ;
typedef set <int> si ;
typedef map <int, int> mii ;
typedef map <string, int> msi ;
const int N = 2010 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int iinf = 1 << 30 ;
const ll linf = 2e18 ;
const int MOD = 1000000007 ;
const double eps = 1e-7 ;
void print(int x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void PRINT(string x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void douout(double x){ printf("%lf\n", x + 0.0000000001) ; }

int f[N][N], s[N] ;
int n, k, ans ;

signed main(){
    scanf("%d%d", &n, &k) ;
    f[0][n + 1] = 1 ; s[n + 1] = 1 ;
	per(i, n, 1) s[i] = s[i + 1] + f[0][i] ;
	rep(i, 1, k - 1) {
		rep(j, 1, n - i + 1) f[i][j] = s[j] ;
		s[n + 1] = f[i][n + 1] ;
		per(j, n, 1) s[j] = (s[j + 1] + f[i][j]) % MOD ;
	}
	rep(i, 2, n + 1) (ans += f[k - 1][i]) %= MOD ;
	rep(i, 1, n - k - 1) (ans *= 2) %= MOD ;
	printf("%d\n", ans) ;
	return 0 ;
}

/*
写代码时请注意：
	1.ll？数组大小，边界？数据范围？
	2.精度？
	3.特判？
	4.至少做一些
思考提醒：
	1.最大值最小->二分？
	2.可以贪心么？不行dp可以么
	3.可以优化么
	4.维护区间用什么数据结构？
	5.统计方案是用dp？模了么？
	6.逆向思维？
*/