arc068f

最新推荐文章于 2020-10-02 16:46:22 发布

Marcus0_O

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分类专栏： DP 文章标签： dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Fate_Zero_Saber/article/details/79391028

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该博客讨论了一种从1到n的序列，通过在双端序列中选择删除点来形成新的序列的问题。博主提出，合法的删除序列在第k位出现1时，可以分解为1或2个单调下降序列。动态规划被用来解决这个问题，其中f[i][j]表示考虑完删除序列的前i位且最小值为j的状态。转移方程为f[i][j]=∑k=jn+1f[i−1][k]。博主提醒注意，f[k][1]-f[k-1][1]才是最终答案。博客还包括了题解和代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

现在有一个1-n的序列，我们将它依次加入一个双端的序列，加完之后我们再每一次选择双端序列中的左端点/右端点，选择一个将对应的数删除并加入一个删除序列中，问最后有多少个合法的删除序列满足第k个是1

题解

好像和很多dalao的解法有一些出入

观察一下一开始的序列，发现是一个v型的东西，并且1就是v的中间最低那一个点
那么我们的删除序列的1-k位就是一个可以分解为1个或者2个单调下降序列的序列，并且其中一个序列的最后一位是1
设f[i][j]表示我们当前考虑完了删除序列的前i位，当前我们删除序列中最小的那个数是j
这样好像很难正确的表示出每一种状态，但实际上，由于原序列的特殊性，我们可以用一个较为抽象的方式表示出这个序列
先给出转移：
$f[i][j]=\sum_{k=j}^{n+1}f[i-1][k]$
因为比较抽象，所以举个例子：
比如我们当前的删除序列是9 8 5 3
那么如果我们下一个要删除的是1或2的话那么序列依然是合法的，只要接到3所在的那个单调下降序列后面就可以了
但是如果我们要加的数比3要大呢？如果要加比3大的数有哪一些是合法的呢？
只有当前没有出现在删除序列中的最大的数才是合法的
因为如果你加了一个比当前最小数要大的数，意味着你在V的两头都取过了，那么当前没有取的最大的数一定小于取过的最大的数
我们并不需要知道这个数具体是多少，我们只需要知道一定有且只有一个，这样就很舒服了，直接加上f[i-1][j]就好了嘛
然后在取完前k个之后剩下的就可以随便取了，因为已经没有任何限制了，需要注意的是最后一个数只有1种取法

但是这样做还有一个坑
观察我们对f的定义，其中的第二维是删除序列中的最小而不是最后一个
也就是说f[k][1]并不是我们想要的最终结果，f[k][1]-f[k-1][1]才是

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fo1(i,b,a) for(i=b;i>=a;i--)

using namespace std;

const int maxn=1005,md=1e9+7;

int f[maxn][maxn],sum[maxn];
int i,j,k,l,m,n,x,y,ans;

int main(){
//  freopen("068f.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0][n+1]=1;
    fo(i,1,k){
        sum[n+1]=f[i-1][n+1];
        fo1(j,n,1) sum[j]=(sum[j+1]+f[i-1][j])%md;
        fo(j,1,n-i+1) f[i][j]=sum[j];
    }
    f[k][1]=f[k][1]-f[k-1][1];
    fo(i,1,n-k-1) f[k][1]=(f[k][1]*2)%md;
    printf("%d\n",f[k][1]);
    return 0;
}