数论模板总结

数论模板总结

作者：harryhe
日期：2018.11.4

一.对运算的优化：

1.快速乘

int fastmul(int a, int b, int p) {
	int x = 0 ;
	while (b) {
		if (b & 1) x = (x + a) % p ;
		a = (a + a) % p ;
		b >>= 1 ;
	}
	return x ;
}

2.快速幂

int power(int a, int b, int p){
	int x = 1 ;
	for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) if (b & 1) x = x * a % p ;
	return x ;
}

$O(logb)$

就是按$2$进制分解，按位如果当前位为$1$就乘上相应的权值，权值可以递推的求，而不用于处理

二.最大公约数（gcd）

1.辗转相除法

int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a ;
	else return gcd(b, a % b) ;
}

2.二进制算法

int gcd(int x, int y) {
	int i, j ;
	if (!x) return y ;
	if (!y) return x ;
	for (i = 0；(x & 1) == 0; i++) x >>= 1 ;
	for (j = 0; (y & 1) == 0; j++) y >>= 1 ;
	if (j < i) i = j ;
	while (1) {
		if (x < y) swap(x, y) ;
		if ((x -= y) == 0) return y << i ;
		while ((x & 1) == 0) x >>= 1 ; 
	} 
}

如果$x=y$, $\gcd (x,y)=x$,否则
1)$x,y$均为偶数，$\gcd (x,y)=\gcd (x/2,y/2)\ast 2;$
2)$x$为偶数，$y$为奇数，$\gcd (x,y)=\gcd (x/2,y);$
3)$x$为奇数，$y$为偶数，$\gcd (x,y)=\gcd (x,y/2);$
4)$x,y$均为奇数，$\gcd (x,y)=\gcd (x-y,y);$

三.对素数的研究：

1.判断一个数是不是质数

bool isprime(int x) {
	if (x == 0 || x == 1) return false ; 
	for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++)
	if (x % i == 0) return false ;
	return true ;
}

被然以一个小于等于$\sqrt{(}x)$的非$1$正整数整除的数都不是质数

2.质因数分解

void factor(int x) {
	tot = 0 ;
	for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) 
	if (x % i == 0){
		while (x % i == 0) fac[++tot] = i, x /= i ;
	}
	if (x > 1) fac[++tot] = x ;
}

对于小于等于$\sqrt{(}x)$的数枚举是不是$x$的因数，如果是，应当记录其个数
最后特判一个大于$\sqrt{(}x)$的大因数，比如$106=2\ast 53$

3.素数筛—朴素算法

void Select(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) f[i] = 1 ;
	f[0] = f[1] = 0 ;
	tot = 0 ;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!f[i]) continue ;
		prime[++tot] = i ;//记录素数
		for (int j = 2; i * j <= n; j++) f[i * j] = 1 ;
	}
}

$O(nloglogn)$
若$i$为素数，$i\ast j$肯定为合数

4.素数筛—线性筛

void select(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) f[i] = 1 ;
	f[0] = f[1] = 0 ;
	tot  = 0 ;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!f[i]) continue ;
		prime[++tot] = i ;
		for (int j = 1; j <= tot; j++) {
			if (i * prime[j] > n) break ;
			f[i * prime[j]] = 0 ;
			if (i % prime[j] == 0) break ; //保证只被最小的质因数筛到
		}
	}
}

$O(n)$
在暴力筛法基础上进行优化，即每一个合数只被它的最小素因子筛掉

四.同余即其应用

1.扩展欧几里得（exgcd）

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0 ;
		return a ;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x) ;
	y -= (a / b) * x ;
	return d ;
}

求解形如$ax+by=c$的方程
如果$c\%\gcd (a,b)!=0$无解
求解出$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=\gcd (a,b)$的一对特解$(x^{\prime },y^{\prime })$
$x=x^{\prime }\ast a/\gcd (a,b),y=y^{\prime }\ast b/\gcd (a,b)$
通解$X=x+k\ast b/\gcd ,Y=y-k\ast a/\gcd ,$$\gcd =\gcd (a,b)$

2.求解线性方程

运用$exgcd$可以求出形如$ax+by=c$的二元不定方程的一个特解

bool Equation(int a, int b, int c, int &x, int &y) { // 求解形如ax+by=c的方程
	int d = exgcd(a, b, x, y) ;
	if (c % d) return false ;//当c不是gcd(a,b)的公倍数时无解
	int k = c / d ;
	x *= k, y *= k ; // 同时扩大c/gcd(a,b)
	return true ;
}

同样的求解出一组满足方程$a^{\prime }x+b^{\prime }y=\gcd (a,b)$,再扩大$c/\gcd (a,b)$倍

3.乘法逆元及其求法

模不满足同除性，即$a\equiv b(modp),$不一定满足$a/c\equiv b/c(modp)$

这种时候可以运用乘法逆元

若$a\ast x\equiv 1(modb)$，$a,b$互质，则称$x$为$a$的乘法逆元,即为$a^{-1}$

乘法逆元有如下几种求解方式：

1）乘法逆元 – 线性方法

void initinv(int n, int p) {
	inv[1] = 1 ;
	for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p % i] % p ;
}

首先$1^{-1}=1(modp)$

然后设$p=k\ast i+r,r<i,1<i<p$

把上式放入$modp$意义下就会发现

$k\ast i+r\equiv 0(modp)$

同时乘以$i^{-1}$,$r^{-1}$就会得到

$k\ast r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(modp)$

$i^{-1}=-k\ast r^{-1}(modp)$

$i^{-1}=-\left[\frac{p}{i}\right]\ast (pmodi{)}^{-1}(modp)$

于是上述我们可以推出逆元了

$inv[i]=-(p/i)\ast inv[p\%i]$

$-->inv[i]=(p-p/i)\ast inv[p\%i]$

2)乘法逆元 – exgcd

int getinv(int a, int p) { // 可以求出单个inv
	ll x, y ;
	ll d = exgcd(a, p, x, y) ;
	return d == 1 ? (x + p) % p ? -1 ;
}

$a*x≡1(mod\ b) -> ax+by=1 $

3)乘法逆元 — 快速幂

int getinv(int a, int p) { // inv = a ^ (p - 2)
	return power(a, p - 2,  p) ; // 调用快速幂
}

根据费马小定理，当p为质数时，$a^{-1}=a^{p-2}$

4.中国剩余定理

ll CRT(int n){
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]) ;
    ll sum = 1, ans = 0 ;
    for (int i = 1; i <= n; i++) sum *= m[i] ;
    for (int i = 1; i <= n; i++) M[i] = sum / m[i] ;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        exgcd(M[i], m[i], x, y) ;
        t[i] = (x % m[i] + m[i]) % m[i] ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + a[i] * M[i] * t[i]) % sum ;
    if (ans < 0) ans += sum ;
    return ans ;
}

中国剩余定理是求解这种同余方程的：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

若保证$m_1,m_2,...,m_n$互质，$S=\prod _{i=1}^n{m}_i$,$M_i=\frac{S}{m_i}$,$t_i$是线性同余方程$M_i{t}_i\equiv 1(mod{m}_i)$的一组解

在保证有节的情况下

$ans=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$

且仅有一组解

5.高次同余方程算法Baby-step-Gaint-step(BSGS)

ll BSGS(ll a, ll b, ll p){
    map<long ,long> hash ;
    hash.clear();
    b %= p ;
    int t = (int)sqrt(p) + 1 ;
    for(int j = 0; j < t; j++) {
        int val = (ll) b * power(a, j, p) % p ;
        hash[val] = j ;
    }
    a = power(a, t, p) ;
    if (a == 0) {
        if (b == 0) return 1 ;
        else return -1 ;
    }
    for(int i = 0; i <= t; i++){
        int val = power(a, i, p) ;
        int j = hash.find(val) == hash.end() ? -1 : hash[val] ;
        if (j >= 0 && i * t - j >= 0) return i * t- j ;
    }
    return -1 ;
}

这个回来再说，noip肯定不考

五.欧拉函数求法

欧拉函数$\phi (n)$表示小于或者等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目

1.$\phi (1)=1$

2.若$n$是质数$p$的$k$次幂, $\phi (n)=\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\ast p^{k-1}$

3.由于欧拉函数是积性函数，所以若$\gcd (n,m)=1$，$\phi (nm)=\phi (n)\ast \phi (m)$

4.若$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_r^{k_r}$,$\phi (n)=n\ast \prod _{p|n}(\frac{p-1}{p})$

欧拉函数一些性质：

1.当$n$为奇数时，$\phi (2\ast n)=\phi (n)$

2.当$p$是质数时,且$n$被$p$整除,若$p$与$n/p$不互质，$\phi (n)=\phi (n/p)\ast p$

3.当$p$是质数时,且$n$被$p$整除,若$p$与$n/p$互质，$\phi (n)=\phi (n/p)\ast (p-1)$

4.${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$

5.如果p为质数，$\phi (p)=p-1$

1.求单个欧拉函数

int Euler(int x) {
	int res = x ;
	for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++)
	if (x % i == 0){
		res = res / i * (i - 1) ;
		while (x % i == 0) x /= i ;
	}
	if (x > 1) res = res / x * (x - 1) ;//先除再乘
	return res ;
}

以上算法是O(sqrt(n))的

可以通过筛质数将算法优化到O(logn)级别：

int Euler(int x) {
	int res = x ;
	for (int i = 1; i <= tot && prime[i] * prime[i] <= x; i++)
	if (x % prime[i] == 0) {
		res = res / prime[i] * (prime[i] - 1) ;
		while (x % prime[i] == 0) x /= prime[i] ;
	}
	if (x > 1) res = res / x * (x - 1) ;
	return res ;
}
init() // 调用筛质因数

2.欧拉函数 — 普通筛法

void Euler(int n) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) phi[i] = i ;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
	if (phi[i] == i){
		for (int j = 2; i * j <= n; j++) phi[i * j] = phi[i * j] / i * (i - 1) ;
	}
 }

3.欧拉函数 — 线性筛法

void Euler(int n) {
	phi[1] = 1 ;
	tot = 0 ;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!flag[i]) {
			prime[++tot] = i ;
			phi[i] = i - 1 ;
		}
		for (int j = 1; j <= tot; j++) {
			if (i * prime[j] > n) break ;
			flag[i * prime[j]] = 1 ;
			if (i % prime[j] == 0) {
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] ;//性质2
				break ;
			}
			phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1) ;//性质3
		}
	}
}

六.组合数学

组合数计算 — 杨辉三角

void initc(int n, int p) {
	f[0][0] = 1 ;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i][0] = 1 ;
		for (int j = 1; j <= n; j++) 
		f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % p ;
	}
}

$C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]$

组合数计算 — 阶乘+乘法逆元

void init(int n, int p) {
	fac[1] = inv[1] = sum[1] = 1 ;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % p ;
		inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p ;
		sum[i] = sum[i - 1] * inv[i] % p ; // sum[i] 表示前i个乘法逆元的乘积
	}
}
ll C(ll a, ll b) { // C(a, b) = a!/(b!*(a-b)!)
	return fac[a] * sum[b] % p * sum[a - b] % p ;
}

根据组合数的计算式得出

$C_n^m=\frac{n!}{m!n-m!}$

套用阶乘和乘法逆元求得即可

Lucas

ll Lucas(ll n, ll m) {
	if (m == 0) return 1 ;
	return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p ; // C计算用阶乘+逆元的那个
}

这个回来再填坑