OI 数论模板总结

原创于 2023-05-01 11:38:26 发布 · 790 阅读

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#算法 #数据结构

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文章介绍了几种重要的数学算法在编程中的应用，包括欧几里得算法用于求最大公因子，扩展欧几里得用于求解不定方程的整数解，快速幂算法用于高效计算模幂运算，质因数分解，以及组合数的计算方法如费马小定理和卢卡斯定理。此外，还涉及了中国剩余定理解决线性同余方程组，线性素数筛和欧拉函数筛求解素数和欧拉函数，以及莫比乌斯函数的计算。这些算法在处理数论问题和高效计算中起到关键作用。

1.欧几里得算法

可以通过欧几里得算法求出最大公因子。

int gcd(int x, int y) //欧几里得算法 
{ 
    return y==0 ?  x : gcd(y, x%y);
}

2.扩展欧几里得

可以通过扩展欧几里得求出 $a x + b y = d$
不定方程的一组整数解。（ $a, b, d$ 为正整数）

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) //扩展欧几里得 
{
    if(!b)
    {
    	x=1; y=0;
     	return ;
	}
	exgcd(b, a%b, y, x);
	y-=(a/b)*x; 
}

3.快速幂

可以通过快速幂在 $O (l o g n)$
的复杂度下求出 $\ \text{mod} \ p$


LL ksm(LL x, LL y, int p) //快速幂 
{
	LL ans=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) ans=(ans*x)%p;
		y>>=1; x=(x*x)%p;
	}
	return ans%p;
}

4.质因数分解

可以求出一个整数的所有质因数（没有去重）

void factor(int num) //质因数分解 
{
	int fac[MAXN],cnt;
	while(num!=1)
		for(int i=2; i<=num; i++) if(num%i==0)
		{
			fac[++cnt]=i;
			num/=i; i=1;
		}
	for(int i=1; i<=cnt; i++) printf("%d ",fac[i]);
}

5.费马小定理求组合数

可以求 $C_m^n \mod p$ ，其中需要 $n, m$ 较小，较大时要用卢卡斯定理优化。

LL combine(LL x, LL y)   //费马小定理求组合数 
{  
    LL up=1, down=1;  
    for(LL i=0; i<y; i++)
	{  
        up=up*(x-i)%p;  
        down=down*(i+1)%p;  
    }  
    return up*ksm(down, p-2, p)%p;  //可以直接使用上文给出的ksm()
}

6.卢卡斯定理求组合数

同样可以求 $C_m^n \mod p$ ，其中 $p<=10^5 ，n,m<=10^{18}$ 。

LL lucas(LL x, LL y) //卢卡斯定理求组合数 
{  
    if(!y) return 1;  
    return combine(x%p, y%p)*lucas(x/p, y/p)%p;  //可以直接使用上文给出的combine()
}

7.中国剩余定理
可以求解一元线性同余方程组。

LL china(int n, int *a, int *m) //中国剩余定理 
{
    LL p=1, ret=0, x, y;
    for(int i=1; i<=n; i ++) p*=m[i];
    for(int i=1; i<=n; i ++)
	{
        LL w=p/m[i];
        exgcd(m[i], w, x, y); //可以直接使用上文的exgcd()
        ret=(ret+w*y*a[i])%p;
    }
   return (ret+p)%p;
}

8.线性素数筛
可以求出 $\to num$ 内所有的素数。

void prime(int num) //素数筛 
{
	int cnt=0, check[MAXN], pri[MAXN];
	sizeof(check, true, sizeof(check));
	check[1]=false;
	for(int i=2; i<=num; i++)
	{
		if(check[i]) pri[++cnt]=i;
		for(int j=0; j<cnt && i*pri[j]<=num; j++)
		{
			check[i*pri[j]]=false;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

9.欧拉函数筛
可以求出 $\to num$ 内的欧拉函数。

void euler(int num) //欧拉函数筛 
{     
    int cnt=0, check[MAXN], eul[MAXN], pri[MAXN];
	sizeof(check, true, sizeof(check));  
	check[1]=false; eul[1]=1;  
    for(int i=2; i<=num; i++)
	{
		if(check[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			eul[i]=i-1;
		}
		for(int j=0; j<cnt && i*pri[j]<=num; j++)
		{
			check[i*pri[j]]=false;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				eul[i*pri[j]]=eul[i]*pri[j];
				break;
			}
			eul[i*pri[j]]=eul[i]*(pri[j]-1);
		}
	}      
}

10.莫比乌斯函数筛

可以求出 $\to num$ 内的莫比乌斯函数

void mobius(int num) //莫比乌斯函数筛 
{
	int cnt=0, check[MAXN], mob[MAXN], pri[MAXN];
	sizeof(check, true, sizeof(check));
	check[1]=false; mob[1]=1;  
    for(int i=2; i<=num; i++)
	{
		if(check[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			mob[i]=-1;
		}
		for(int j=0; j<cnt && i*pri[j]<=num; j++)
		{
			check[i*pri[j]]=false;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				mob[i*pri[j]]=0;
				break;
			}
			mob[i*pri[j]]=-mob[i];
		}
	}  
}