动态规划模型总结之树形dp

刚讲完状压，我们来讲讲树形dp

1.基本概念

树形$dp$，顾名思义就是在树上做动态规划，通过若干次的遍历树，得到有用的信息，解决问题

树形$dp$的枚举顺序类似线性$dp$，也有两个方向：

①：叶→根：根的子节点传递有用的信息给根，由根得出最优解

②：根→叶：需要取出所有点作为根节点求值，最后根节点获得整棵树的信息

动态规划的顺序一般是后序遍历，即当子节点处理完成再处理父节点

树形$dp$一般通过记忆化搜索实现

普通的树形$dp$的时间复杂度基本都是$O(n)$，若有附加维则为$O(n\ast m)$

2.经典问题

①树的直径

给你一颗$n$个节点的有权有根树，根节点编号为1，找到一条最长的路径

最长链不一定经过根，所以不能单纯的从根贪心

要解决这个问题我们可以使用树形 $dp$

设$d[x]$表示从节点$x$出发走向以$x$为根的子树，能够到达的最远节点的距离

$d[x]={\max }_{i\in son[x]}d[i]+length[x][i]$

答案就是${\max }_{x\in 1...n}{\max }_{i\in son[x]}d[x]+d[i]+length[x][i]$

void dp(int x) {
   
   
    v[x] = 1 ;
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
   
   
        int y = e[i].to ;
        if (v[y]) continue ;
        dp(y) ;
        ans = max(ans, d[x] + d[y] + e[i].w) ;
        d[x] = max(d[x], d[y] + e[i].w) ;
    }
}

这个问题也可以通过两遍$bfs$解决，作者在此就不多说了

②树的重心

树的重心的定义是这样的：若把树变成该点为根的有根树时，最大子树的节点数最小

这个问题也比较简单

随便选一个点作为根

设$sz[x]$表示以$x$为根的子树大小

不难发现$sz[x]={\sum }_{y\in son[x]}sz[y]+1$

删除$x$节点后最大连通块有多少节点？ 子树最大有 m a x { s z [ y ] } max\{sz[y]\} max{ sz[y]}个，还有上面的它的祖先构成的树大小为$n-sz[x]$，$dp$时顺便更新答案

void dfs(int rt, int fat) {
   
   
	sz[rt] = 1 ;
	rep(i, 0, siz(e[rt]) - 1) {
   
   
		int to = e[rt][i] ;
		if (to == fat) continue ;
		dfs(to, rt) ;
		sz[rt] += sz[to] ;
		dp[rt]= max(dp[rt], dp[to]) ;
	}
	dp[rt] = max(dp[rt], n - dp[rt]) ;
	ans = min(ans, dp