第2章 有限域、向量空间、有限几何和图论 -1

---

前言

这章所讲的内容如题目罗列所见。虽然有些东西之前接触过，但感觉和我之前学到的不太一样

---

2.1 集合和二元运算

都是琐碎的知识点

1. 大写字母（不加粗）：集合
   小写字母（不加粗）：集合的元素
2. 集合的势：集合的所有元素的个数
3. 集合S的真子集：S子集的势<S的势（注意没有等于）
4. 集合S上的二元运算：这是一个规则，即在S上任取两个元素，经过一定的运算后得到一个结果，这个结果依然是属于S的。所以这个运算是在集合S上封闭的。（个人理解）这个运算，书上标注的是用*表示。注意，这个运算是非常注重顺序的，即a*b与b*a得到到结果不一定是相同的
5. 二元运算有两个性质：
   （1）满足结合律，即用*来结合S中的元素时，其结果不依赖于所参与运算的元素的分组
   （2）满足分配律，即对S中任意两个元素进行进行二元运算 * ，其运算结果和两元素的先后次序无关

在介绍以下几个小节之前，先简单说一下：
代数系统是指一个集合以及在其上定义的一种或多种二元运算（系统这个名字就体现了其包含的内容）
群、域、向量空间都是代数系统，域包含两个特定的群，向量空间包含有1个特定的群+1个特定的域+1个特定的运算

2.1 群

2.2.1 基本概念

书上定义2.3：
一个集合G及定义在其上的二元运算* ，如果满足下述公理（条件），则（G,）构成一个群：
（1）二元运算是可结合的
（2）G中存在一个元素e使得对G中任意的元素a，有
$$a\ast e=e\ast a=a$$
元素e称为G在二元运算下的单位元（identity element）
（3）对G中任意的元素a，G中存在一元素 $a^{\prime }$ ,使
$$a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e$$
元素a’称为a在二元运算*上的逆元，反之亦然。

注意几点：

• 每个群的单位元是唯一的
• 群中每个元素的逆元也是唯一的
• 如果群G上的二元运算*是可交换的，则称G为交换群，也叫做阿贝尔群。
• 有限群的元素的个数是群的阶，其实就是集合的势|G|
• 群可用Cayley表表示

（自己总结一下：群是一种特殊的集合，这个集合特殊点就在，在这个集合中只做一种运算 就是在其上定义的二元运算，这个二元运算是可结合的，也就是和元素分组无关，而且在这个二元运算下，集合中是存在单位元和逆元的）

2.2.2 有限群

这一小节中，只介绍了两种群，我个人认为群元素就是以下这几个，集合、运算、单位元、逆元、是否是交换群，这两种群如下：

1. 加法群
   这里的加法不是普通加法，是模m加法（就是除以m,取余数的加法）
   

2. 乘法群
   模p乘法（除以p取余数）
   

还有一个由乘法群衍生出来的循环群 ↓↓↓
3. 循环群

2.2.3 子群和陪集

用到再说

2.3 域

2.3.1 定义和概念

书上 定义2.8 令F是一个定义了加法“+”和乘法“$\cdot$”两种运算的非空集合。若满足下述条件（或公里），则称F是加法和乘法这两种运算下的一个域。
（1）F对于“+”构成交换群。关于加法运算的单位元称为F的零元或者加法单位元，记为0。
F中的非零元素集合F{0}在乘法“$\cdot$”下构成一个交换群，关于乘法的单位元称为F的幺元或乘法单位元，记为1。
对F中的任意三个元素a,b和c，有$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$这个等式成为分配律，即乘法对于加法来说可以分配。

（自己总结一下：域也是一种集合，和群不同的是，在这个集合上可以进行两种特定的运算，对于集合中的所有元素来说，加法是都可以使用的，但乘法运算就不能有0的加入了，其实也是两个群，一个加法群，一个乘法群，两个群内的元素只是相差一个0而已）

琐碎点

• 域中元素的个数是域的阶
• 域和子域、真子域都得满足域的那个运算（我推测的，就比如域是模5运算，那其真子域要进行模2运算就不能是这个域的真子域了）
• 域是子域的阔域
• 不含真子域的域叫素域
• 域的特征，直接上书了：
  插图！！！ ！

2.3.2 有限域

有限域通常也被称作Galois域
就看了个GF(2)域
后边关于循环群的以后用到再看

2.4 向量空间

向量空间也是一种代数系统，其主要成分包括：一个特定的域，一个特定的群，一个可以把特定的域和这个特定的群结合的乘法运算。（我感觉和之前学的向量计算没有什么区别，只是这里对其做了一个更加详细的描述）

2.4.1 基本定义和性质

书上 定义2.4 令F是一个域，V是定义在二元加法运算“+”下的一个非空集合。F中元素与V中元素之间的乘法运算定义为“$\cdot$”。若满足下述公里，则称集合V是F上的一个向量空间。
（1）V对于加法是一个交换群
（2）对F中的任意元素a和V中的任意元素 v ，$a\cdot v$是V中的元素。
（3）对F中的任意元素a和b，V中的任意元素$v$,满足结合律：$$(a\cdot b)\cdot v=a(\cdot b\cdot v)$$
(4)对F中的任意元素a和V中的任意元素$u$和$v$，满足分配律：$$a\cdot (u+v)=a\cdot u+a\cdot v$$
(5)对F中的任意两个元素a和b，V中的任意元素$v$，满足分配律：$$（a+b）\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$$

(6)若1是F中的幺元，对V中任意的元素v，有$$1\cdot v=v$$

V中的元素就是向量，F中的元素就是标量，

2.4.2 线性独立和维数

• 线性独立 ，即不相关
• 对于任意的向量空间（或子空间），至少存在一组基，不同的基的向量的个数是相同的，一组基内的向量的个数是向量空间的维数。
• 对于n维线性空间，若有$0⩽k⩽n$，V中k个线性独立向量的集合可张成V的一个k维子空间。

2.4.3 有限域上的有限向量空间

GF(q)上的向量空间

2.4.4 内积和对偶空间

---

疑问点

我不知道要对数做如此细致的划分，还对各种运算做出这么细致的描述，而且这都是封闭的运算，封闭到底有什么意义？希望后续这些疑问能得到解答