【蓝桥杯 2025 国 B】翻倍

【蓝桥杯 2025 国 B】翻倍

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蓝桥杯专栏：2025 国 B
算法竞赛：数学，贪心
题目链接：洛谷【蓝桥杯 2025 国 B】翻倍
相似题目：洛谷 P12642 [KOI 2024 Round 1] 加倍，洛谷 CF1883E Look Back

题目描述
给定 $n$ 个正整数 $A_1,A_2,\dots ,A_n$，每次操作可以选择任意一个数翻倍。
请输出让序列单调不下降，也就是每个数都不小于上一个数，最少需要操作多少次？

输入格式
输入的第一行包含一个正整数 $n$。
第二行包含 $n$ 个正整数 $A_1,A_2,\dots ,A_n$。
输出格式
输出一个整数表示需要的最小操作次数。

数据范围
对于 20% 的评测用例，$n\le 10,A_i\le 100$。
对于 50% 的评测用例，$n\le 5000,A_i<2^{32}$，保证存在操作可以在所有 $A_i$ 小于 $2^{32}$ 的情况下满足题目要求。
对于 100% 的评测用例，$1\le n\le 2\times 10^5,1\le A_i<2^{32}$。

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题目描述

给出一个数列，仅对数列中数的大小进行翻倍操作（操作一次即 $a_i=a_i\times 2$），使数列中后一个数均不小于前一个数，即 $a_{i-1}\le a_i,i\in (1,n]\text{且}i\in \mathbb{Z}$，求为达到目的所需要的最少的操作数。

题目分析

可以进行纯模拟，但这样只能得 $50$ 分，后面的会超时。

数据范围在 $1\le n\le 2\times 10^5,1\le a_i<2^{32}$，仅通过模拟显然是不行的，那么我们可以用一些简单的数学方法优化一下做法，但这样终归还是模拟，我们不一次一次循环地将数列中的数乘以二，而是通过数学中 $\log$ 的方法求出至少要乘几次二。

方法步骤

1. 正向依次遍历数列，如果前一个数比现在的数大，那么算出前一个数比这个数大的倍数，向上取整得到 $num$；
2. 计算 $num$ 是 $2$ 的几次方（向上取整），即计算 $tem={\log }_{2}num$，向上取整；
3. 将现在的数乘为原来的 $2^{tem}$ 倍，得到新数；
4. 将总计数 $ans$ 加上 $tem$。

这下不会超时了，后面的测试点变成 Wrong Answer 了，这是因为产生的新数很有可能超过 long long 的数据范围，那就只能不将数列中的数变成新数了。

那么就再需要一些数学上的转换：将数列变为一个递减的数列，即数列中的后一个数小于或等于前一个数。这样在计算每一个数需要操作的次数时便被拆分为两部分，即操作现在的数变成大于或等于前一个数所需的最小操作数与前一个数变化需要的最小操作数，其中操作现在的数变成大于或等于前一个数所需的最小操作数即为将数列变为递减时对本数进行操作的最小操作数。

那么事实上，在正向遍历数列时，我们需要判断前一个数是大于还是小于或等于现在的数，从而进行不同的操作。方法步骤如下：

1. 如果现在的数小于前一个数（记为事件一），得到 $num=a_{i-1}÷a_i$，否则，得到 $num=a_i÷a_{i-1}$，均向上取整；
2. 与上述方法步骤类似，得到 ${\log }_{2}num$，同样向上取整；
3. 用数组 $b_i$ 表示第 $i$ 个数操作的次数，如果事件一成立，则更新 $b_i$ 为 $b_i=b_{i-1}+tem$，否则更新 $b_i$ 为 $b_i=b_{i-1}-tem+1$;
4. 如果事件一不成立，且 $tem={\log }_{2}num$ 刚好是整数，这就意味着现在的数除以 $2^{tem}$ 刚好等于前一个数，这时 $b_i$ 要减去 $1$ 以抵消步骤 $3$ 中加的一；
5. 最后将总计数 $ans$ 加上 $b_i$ 即可。

注意

1. $a_i$ 的范围是超过了 int 范围的。
2. 如果事件一不成立，即现在的数大于或等于前一个数，则 $b_i$ 的更新中有可能小于零，但事实上，$b_i$ 不能小于 $0$。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
long long a[N],b[N];//a 数组记录原始数据,b 数组记录每个数需要操作的次数
int main()
{
	int n;
	long long ans=0,num,tem;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		if (i==1) continue;
		if (a[i]<a[i-1])
		{
			num=a[i-1]/a[i];
			if (a[i-1]%a[i]!=0) num+=1;//向上取整
			tem=ceil(log(num)/log(2));//等价于 tem=ceil(log2(num))
			b[i]=b[i-1]+tem;//更新 b[i]
			ans=ans+b[i];//计数
		}
		else
		{
			num=a[i]/a[i-1];
			int ttt=num;
			if (a[i]%a[i-1]!=0) num+=1;//向上取整
			tem=ceil(log(num)/log(2));//等价于 tem=ceil(log2(num))
			b[i]=b[i-1]-tem+1;//更新 b[i]
			if (pow(2,tem)==ttt) b[i]-=1;//抵消上句中的加一
			if (b[i]<0) b[i]=0;//b[i] 不能小于 0
			ans=ans+b[i];//计数
		}
	}
	printf("%lld",ans);//输出答案
	return 0;
}

纯模拟超时代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
long long a[N];
int main()
{
	int n;
	long long ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		while (a[i]<a[i-1])
		{
			a[i]*=2;
			ans++;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

三倍经验

洛谷 P12642 [KOI 2024 Round 1] 加倍，洛谷 CF1883E Look Back

End

感谢观看，如有问题欢迎指出。

更新日志

1. 2025/8/22 开始书写本篇 优快云 博客，并完稿发布。

本篇博客最早由本人发布于洛谷文章广场，本篇博客对其进行了修改调整与完善丰富。