因子和与因子个数的应用(二)

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因子和与因子个数的应用

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本文解析了两道经典的数学算法题目：“Happy2004”和“Longge's problem”。通过分解质因数的方法简化计算过程，并利用快速幂算法高效地求解大数的幂次运算及乘法逆元。同时介绍了如何使用C++实现这些算法。

Happy 2004(hdu 1452)

题目大意：让你求2004的X次方的所有因子之和除以29的余数。

Sample Input

1
10000
0

Sample Output

6
10

分析：可以知道：2004=4 * 3 *167 ， S(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)，

由 S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)

得：S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1) * (167^(X+1)-1)/332；

考虑到 167%29 == 22

原式可写为 S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1) * (22^(X+1)-1)/332

然后求332关于29的乘法逆元，由于29是素数，所以乘法逆元可通过快速幂求得。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int power(int a,int b)///求a的b次方
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%29;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%29;
    }
    ans--;
    if(ans<0)
        return ans+29;
    else
        return ans;
}
long long quick_mod(long long a,long long b,long long m)
{                 ///求乘法逆元的快速幂    
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int x,a,b;
    while(scanf("%d",&x)!=EOF)
    {
        if(x==0)
            return 0;
        a=(2*x+1)%28;///2的a次方
        b=(x+1)%28;///3，22的b次方
        int ans=(int)quick_mod(332,27,29)*power(2,a)*power(3,b)*power(22,b)%29;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

Longge's problem(pku 2480)

题目大意：求1~n中每个数与n的最大公约数的和。

输入：输入数据有多组，每组占一行，输入一个N；

输出：对应于每组输入，输出展一行，输出所求的结果

Sample Input

2
6

Sample Output

3
15

分析：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    long long s,n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        s=1;
        long long x,count;
        ///x记录每个素数的乘积
        ///count记录素数的幂
        for(long long i=2;i*i<=n;i++)
            if(n%i==0)
        {
            x=1,count=0;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                x*=i;
                count++;
            }
            s*=(count+1)*x-count*x/i;
        }
        if(n>1)
            s*=(2*n-1);
        cout<<s<<endl;
    }
    return 0;
}