乘法逆元的求法

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本文介绍了乘法逆元的概念及其两种求法：利用费马小定理求质数模意义下的逆元和使用扩展欧几里得算法求非质数模意义下的逆元。同时探讨了乘法逆元在解决模运算中除法问题的应用。

1.乘法逆元：如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

2..费马小定理

假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为

扩展欧几里得

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式

好了，在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式。

为什么可以用费马小定理来求逆元呢？

由费马小定理 a^p-1≡1 , 变形得 a*a^p-2≡1(mod p)，答案已经很明显了:若a,p互质(条件),因为a*a^p-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=a^p-2(mod p),用快速幂可快速求之。

为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？

ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

知道逆元怎么算之后，那么乘法逆元有什么用呢？

做题时如果结果过大一般都会让你模一个数，确保结果不是很大，而这个数一般是1e9+7，而且这个数又是个素数，加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。（除一个数等于乘它的倒数，虽然这里的逆元不完全是倒数，但可以这么理解，毕竟乘法逆元就是倒数的扩展）。

扩展欧几里得算法求乘法逆元(p为非质数时)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    long long a,p,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&p)!=EOF)
    {
        long long g=exgcd(a,p,x,y);
        if(g==1)
            cout<<(x+p)%p<<endl;
        else
            cout<<-1<<endl;
    }
    return 0;
}

费马小定理(p为质数时)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
long long quick_mod(long long a,long long b,long long m)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long a,p;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&p)!=EOF)
    {
        cout<<quick_mod(a,p-2,p)<<endl;
    }
    return 0;
}