【卡尔曼滤波】连续&离散线性系统的数学模型

内容来源：
崔希璋, 於宗俦, 陶本藻,等. 广义测量平差(新版)[M]. 武汉测绘科技大学出版社, 2001.
贴在这里以备不时之需，自己抄一边，也就理解个七七八八了😜

一、引子

为了说明动态系统的数学模型，我们首先举一个例子。卫星在空间飞行，在地球各地的卫星观测站对卫星的瞬时位置——角位置偏差进行观测，可以通过这些观测值来求定和预报卫星飞行轨道的偏差。由于卫星在飞行过程中受大气阻力的影响，要产生阻力加速度，其主要影响是改变卫星沿轨道切线方向的运动，使卫星轨道产生偏差，而不能按标称轨道运行。

二、数学模型

1、符号含义

2、连续线性系统

上述连续线性系统的状态方程是线性微分方程（为什么说是微分方程呢？过去平差求的不是一个参数向量吗，它应该是个值啊。这里是动态的系统，所要求的参数向量是随时间变化的，所以它可以看成是时间的函数，我们要求的状态向量就是一个关于时间的函数，所以这是一个微分方程！），它的通解等于它所对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和。为此，先求齐次状态方程

3、离散线性系统

如果仅在确定的瞬间来研究系统的性能，把这样的系统叫做离散时间系统. 一般来说，它包括两种情况：

• （1）系统本身就是一个离散的系统，对于这种系统，只能在离散的瞬间来研究系统的状态，而在这些时刻之间，系统的状态是没有意义的.
• （2）本身是连续的系统，但为了研究方便，仅在离散时间内研究其性能.
  一个离散线性系统，通常是用一个具有随机初始状态，并带有动态噪声的线性差分方程和离散观测方程来描述。对于上述第二种情况，可以由相应的连续线性系统的状态方程和观测方程离散化得到。