Python 求导

Part.I Introduction

本文将介绍如何用 Python 来求导。求导法则戳我，可以用 Python 来检验自己笔算求导的结果是否正确。

需要的包有

• sympy：符号工具包
• scipy：科学计算包

from sympy import *
from scipy.stats import *

Part.II 基础知识

在正式开始之前，首先需要了解下面的一些基础知识。

Chap.I 特殊量的表示

在求积分的过程中，会用到许多像『无穷大』、『PI』等特数量，它们在sympy库中是如何表示的呢？下面一个表格对它们进行了汇总

代码表示	符号	含义
pi	$\pi$	圆周率
oo	$\infty$	无穷大
-oo	$-\infty$	负无穷大
exp(x)	$e^x$	自然常数的 x 次幂
log(x)	$ln(x)$	以自然常数为底的对数 $lo{g}_{e}x$
erf(x)	$\mathrm{erf}(x)$	误差函数 $\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$
erfc(x)	$\mathrm{erfc}(x)$	误差函数补 $\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erfc}(x)$
erfi(x)	$\mathrm{erfci}(x)$	虚误差函数 $\mathrm{erfci}(x)=-i\mathrm{erf}(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Chap.II diff 函数简析

diff 函数的一般用法为：

diff(func,x,n)

其中

• func是要求导的函数
• x是要对其求导的变量
• n是可选的，表示求n阶导数，默认为1阶导数

Part.III 求导实例

Chap.I 导数

一阶导数

求下面函数的一阶导数
$$f_1(x)=cos(x)$$
代码如下：

def firstDerivative_a():
    """ 一阶导数 """
    x = symbols('x')
    print(diff(cos(x), x))
    return

结果为

-sin(x)

即
$$f_1^{\prime }(x)=-sin(x)$$

---

二阶导数

求下面函数的二阶导数
$$f_2(x)=co{s}^2(x)$$
代码如下：

def secondDerivative_a():
    """ 二阶导数 """
    x = symbols('x')
    print(diff(cos(x)**2, x ,2))
    return

结果为

2*(sin(x)**2 - cos(x)**2)

即
$$f_2^{\prime \prime }(x)=2[si{n}^2(x)-co{s}^2(x)]$$

Chap.II 偏导数

一阶偏导数

求下面函数的一阶偏导数
$$g(x,y)=\frac{cos(x^{2}y)}{x^2+y^2+1}$$
代码如下：

def firstPartialDerivative_a():
    """ 一阶偏导数 """
    x, y = symbols('x y')
    g = cos(x**2*y)/(x**2+y**2+1)
    dx = diff(g, x)
    dy = diff(g, y)

    print("对x的一阶偏导：", dx)
    print("对y的一阶偏导：", dy)
    return

结果为

对x的一阶偏导： -2*x*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - 2*x*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1)**2
对y的一阶偏导： -x**2*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - 2*y*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1)**2 

即
$$g_x^{\prime }(x,y)=\frac{-2xy\cdot sin(x^{2}y)}{x^2+y^2+1}-\frac{2x\cdot cos(x^{2}y)}{(x^2+y^2+1{)}^2}$$

$$g_y^{\prime }(x,y)=\frac{-x^2\cdot sin(x^{2}y)}{x^2+y^2+1}-\frac{2y\cdot cos(x^{2}y)}{(x^2+y^2+1{)}^2}$$

---

二阶偏导数

求下面函数的二阶偏导数
$$g(x,y)=\frac{cos(x^{2}y)}{x^2+y^2+1}$$
代码如下：

def secondPartialDerivative_a():
    """ 二阶偏导数 """
    x, y = symbols('x y')
    g = cos(x**2*y)/(x**2+y**2+1)
    dx = diff(g, x, 2)
    dy = diff(g, y, 2)

    print("对x的二阶偏导：", dx)
    print("对y的二阶偏导：", dy)
    return

结果为

对x的二阶偏导： 
2*(4*x**2*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - 
y*(2*x**2*y*cos(x**2*y) + sin(x**2*y)) + 
(4*x**2/(x**2 + y**2 + 1) - 1)*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1))/(x**2 + y**2 + 1)  
----------------------------------------
对y的二阶偏导： 
(-x**4*cos(x**2*y) + 
4*x**2*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) + 
2*(4*y**2/(x**2 + y**2 + 1) - 1)*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1))/(x**2 + y**2 + 1)

结果太复杂，就不写公式了。

Reference

• 用 python 的库 sympy 求导数
• python 求常微分方程
• Python 求积分
• 【微积分】常用函数求导公式