本文通过数学证明展示了形如4k+3和6k+5的素数有无穷多个，利用了引理关于特定形式正整数的素因数性质，反驳了有限个素数的假设。
引理：任一形如3k-1, 4k-1, 6k-1形式的正整数必有相同形式的素因数。
证明：（1）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：3k−1，3k和3k+1。对于∀k1,k2∈Z，(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+1，3k1⋅3k2=3(3k1k2)，3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1)，即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1，形如3k的奇数的乘积仍形如3k，形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k，以上三种情况都无法得到形如3k−1的奇数，说明形如3k−1的奇数必有形如3k−1的素因子。（2）奇数也可以表示为以下两种形式中的一种：4k−1，和4k+1。对于∀k1,k2∈Z，(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+1，即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1，无法得到形如4k−1的奇数，说明形如4k−1的奇数必有形如4k−1的素因子。（3）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：6k−1，6k+1和6k+3。对于∀k1,k2∈Z，(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1，(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3，(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2)，即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1，形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3，形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3，以上三种情况都无法得到形如6k−1的奇数，说明形如6k−1的奇数必有形如6k−1的素因子。证明：\\
（1）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：3k-1，3k和3k+1。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z}，(3k_1+1)(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1+k_2)+1，\\
3k_1·3k_2=3(3k_1k_2)，3k_1(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1)，\\
即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1，形如3k的奇数的乘积仍形如3k，\\形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k，以上三种情况都无法得到形如3k-1的奇数，\\
说明形如3k-1的奇数必有形如3k-1的素因子。\\
（2）奇数也可以表示为以下两种形式中的一种：4k-1，和4k+1。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z}，(4k_1+1)(4k_2+1)=4(4k_1k_2+k_1+k_2)+1，\\
即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1，无法得到形如4k-1的奇数，\\
说明形如4k-1的奇数必有形如4k-1的素因子。\\
（3）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：6k-1，6k+1和6k+3。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z}，(6k_1+1)(6k_2+1)=6(6k_1k_2+k_1+k_2)+1，\\
(6k_1+3)(6k_2+3)=6[6k_1k_2+3(k_1+k_2)]+3，\\
(6k_1+1)(6k_2+3)=6(6k_1k_2+3k_1+k_2)，\\
即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1，形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3，\\形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3，以上三种情况都无法得到形如\\6k-1的奇数，说明形如6k-1的奇数必有形如6k-1的素因子。证明：（1）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：3k−1，3k和3k+1。对于∀k1,k2∈Z，(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+1，3k1⋅3k2=3(3k1k2)，3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1)，即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1，形如3k的奇数的乘积仍形如3k，形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k，以上三种情况都无法得到形如3k−1的奇数，说明形如3k−1的奇数必有形如3k−1的素因子。（2）奇数也可以表示为以下两种形式中的一种：4k−1，和4k+1。对于∀k1,k2∈Z，(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+1，即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1，无法得到形如4k−1的奇数，说明形如4k−1的奇数必有形如4k−1的素因子。（3）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：6k−1，6k+1和6k+3。对于∀k1,k2∈Z，(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1，(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3，(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2)，即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1，形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3，形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3，以上三种情况都无法得到形如6k−1的奇数，说明形如6k−1的奇数必有形如6k−1的素因子。
命题：形如4k+3的素数有无穷多个。
有引理可知形如4k−1（即4k+3）的合数必有相同形式的素因子。假设形如4k−1的素数只有有限个，分别为p1,p2,...,pn，令N=4p1p2...pn−1，则N一定为合数，且具有形如4k−1的素因子（记为pj），则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1，矛盾。所以形如4k−1（即4k+3）的素数有无穷多个。有引理可知形如4k-1（即4k+3）的合数必有相同形式的素因子。\\
假设形如4k-1的素数只有有限个，分别为p_1,p_2,...,p_n，\\
令N=4p_1p_2...p_n-1，则N一定为合数，且具有形如4k-1的素因子（记为p_j），\\
则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\
所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1，矛盾。\\
所以形如4k-1（即4k+3）的素数有无穷多个。有引理可知形如4k−1（即4k+3）的合数必有相同形式的素因子。假设形如4k−1的素数只有有限个，分别为p1,p2,...,pn，令N=4p1p2...pn−1，则N一定为合数，且具有形如4k−1的素因子（记为pj），则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1，矛盾。所以形如4k−1（即4k+3）的素数有无穷多个。
命题：形如6k+5的素数有无穷多个。
有引理可知形如6k−1（即6k+5）的合数必有相同形式的素因子。假设形如6k−1的素数只有有限个，分别为p1,p2,...,pn，令N=6p1p2...pn−1，则N一定为合数，且具有形如4k−1的素因子（记为pj），则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1，矛盾。所以形如6k−1（即6k+5）的素数有无穷多个。有引理可知形如6k-1（即6k+5）的合数必有相同形式的素因子。\\ 假设形如6k-1的素数只有有限个，分别为p_1,p_2,...,p_n，\\ 令N=6p_1p_2...p_n-1，则N一定为合数，且具有形如4k-1的素因子（记为p_j），\\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\ 所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1，矛盾。\\ 所以形如6k-1（即6k+5）的素数有无穷多个。有引理可知形如6k−1（即6k+5）的合数必有相同形式的素因子。假设形如6k−1的素数只有有限个，分别为p1,p2,...,pn，令N=6p1p2...pn−1，则N一定为合数，且具有形如4k−1的素因子（记为pj），则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1，矛盾。所以形如6k−1（即6k+5）的素数有无穷多个。
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