引理:任一形如3k-1, 4k-1, 6k-1形式的正整数必有相同形式的素因数。
证明:(1)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:3k−1,3k和3k+1。对于∀k1,k2∈Z,(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+1,3k1⋅3k2=3(3k1k2),3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1),即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1,形如3k的奇数的乘积仍形如3k,形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k,以上三种情况都无法得到形如3k−1的奇数,说明形如3k−1的奇数必有形如3k−1的素因子。(2)奇数也可以表示为以下两种形式中的一种:4k−1,和4k+1。对于∀k1,k2∈Z,(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+1,即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1,无法得到形如4k−1的奇数,说明形如4k−1的奇数必有形如4k−1的素因子。(3)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:6k−1,6k+1和6k+3。对于∀k1,k2∈Z,(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1,(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3,(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2),即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1,形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3,形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3,以上三种情况都无法得到形如6k−1的奇数,说明形如6k−1的奇数必有形如6k−1的素因子。证明:\\
(1)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:3k-1,3k和3k+1。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(3k_1+1)(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\
3k_1·3k_2=3(3k_1k_2),3k_1(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1),\\
即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1,形如3k的奇数的乘积仍形如3k,\\形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k,以上三种情况都无法得到形如3k-1的奇数,\\
说明形如3k-1的奇数必有形如3k-1的素因子。\\
(2)奇数也可以表示为以下两种形式中的一种:4k-1,和4k+1。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(4k_1+1)(4k_2+1)=4(4k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\
即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1,无法得到形如4k-1的奇数,\\
说明形如4k-1的奇数必有形如4k-1的素因子。\\
(3)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:6k-1,6k+1和6k+3。\\
对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(6k_1+1)(6k_2+1)=6(6k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\
(6k_1+3)(6k_2+3)=6[6k_1k_2+3(k_1+k_2)]+3,\\
(6k_1+1)(6k_2+3)=6(6k_1k_2+3k_1+k_2),\\
即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1,形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3,\\形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3,以上三种情况都无法得到形如\\6k-1的奇数,说明形如6k-1的奇数必有形如6k-1的素因子。证明:(1)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:3k−1,3k和3k+1。对于∀k1,k2∈Z,(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+1,3k1⋅3k2=3(3k1k2),3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1),即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1,形如3k的奇数的乘积仍形如3k,形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k,以上三种情况都无法得到形如3k−1的奇数,说明形如3k−1的奇数必有形如3k−1的素因子。(2)奇数也可以表示为以下两种形式中的一种:4k−1,和4k+1。对于∀k1,k2∈Z,(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+1,即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1,无法得到形如4k−1的奇数,说明形如4k−1的奇数必有形如4k−1的素因子。(3)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:6k−1,6k+1和6k+3。对于∀k1,k2∈Z,(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1,(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3,(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2),即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1,形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3,形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3,以上三种情况都无法得到形如6k−1的奇数,说明形如6k−1的奇数必有形如6k−1的素因子。
命题:形如4k+3的素数有无穷多个。
有引理可知形如4k−1(即4k+3)的合数必有相同形式的素因子。假设形如4k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=4p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如4k−1(即4k+3)的素数有无穷多个。有引理可知形如4k-1(即4k+3)的合数必有相同形式的素因子。\\
假设形如4k-1的素数只有有限个,分别为p_1,p_2,...,p_n,\\
令N=4p_1p_2...p_n-1,则N一定为合数,且具有形如4k-1的素因子(记为p_j),\\
则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\
所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1,矛盾。\\
所以形如4k-1(即4k+3)的素数有无穷多个。有引理可知形如4k−1(即4k+3)的合数必有相同形式的素因子。假设形如4k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=4p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如4k−1(即4k+3)的素数有无穷多个。
命题:形如6k+5的素数有无穷多个。
有引理可知形如6k−1(即6k+5)的合数必有相同形式的素因子。假设形如6k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=6p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如6k−1(即6k+5)的素数有无穷多个。有引理可知形如6k-1(即6k+5)的合数必有相同形式的素因子。\\ 假设形如6k-1的素数只有有限个,分别为p_1,p_2,...,p_n,\\ 令N=6p_1p_2...p_n-1,则N一定为合数,且具有形如4k-1的素因子(记为p_j),\\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\ 所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1,矛盾。\\ 所以形如6k-1(即6k+5)的素数有无穷多个。有引理可知形如6k−1(即6k+5)的合数必有相同形式的素因子。假设形如6k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=6p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如6k−1(即6k+5)的素数有无穷多个。