特殊形式素数无穷性的证明

引理：任一形如3k-1, 4k-1, 6k-1形式的正整数必有相同形式的素因数。

$$\begin{gathered} 证明： \\ （1）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：3k-1，3k和3k+1。 \\ 对于\forall k_1,k_2\in \mathbb{Z}，(3k_1+1)(3k_2+1)=3(3k_1{k}_2+k_1+k_2)+1， \\ 3k_1\cdot 3k_2=3(3k_1{k}_2)，3k_1(3k_2+1)=3(3k_1{k}_2+k_1)， \\ 即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1，形如3k的奇数的乘积仍形如3k， \\ 形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k，以上三种情况都无法得到形如3k-1的奇数， \\ 说明形如3k-1的奇数必有形如3k-1的素因子。 \\ （2）奇数也可以表示为以下两种形式中的一种：4k-1，和4k+1。 \\ 对于\forall k_1,k_2\in \mathbb{Z}，(4k_1+1)(4k_2+1)=4(4k_1{k}_2+k_1+k_2)+1， \\ 即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1，无法得到形如4k-1的奇数， \\ 说明形如4k-1的奇数必有形如4k-1的素因子。 \\ （3）奇数可以表示为以下三种形式中的一种：6k-1，6k+1和6k+3。 \\ 对于\forall k_1,k_2\in \mathbb{Z}，(6k_1+1)(6k_2+1)=6(6k_1{k}_2+k_1+k_2)+1， \\ (6k_1+3)(6k_2+3)=6[6k_1{k}_2+3(k_1+k_2)]+3， \\ (6k_1+1)(6k_2+3)=6(6k_1{k}_2+3k_1+k_2)， \\ 即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1，形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3， \\ 形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3，以上三种情况都无法得到形如 \\ 6k-1的奇数，说明形如6k-1的奇数必有形如6k-1的素因子。 \end{gathered}$$
 

命题：形如4k+3的素数有无穷多个。

$$\begin{gathered} 有引理可知形如4k-1（即4k+3）的合数必有相同形式的素因子。 \\ 假设形如4k-1的素数只有有限个，分别为p_1,p_2,...,p_n， \\ 令N=4p_1{p}_2...p_n-1，则N一定为合数，且具有形如4k-1的素因子（记为p_j）， \\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。 \\ 所以p_j|(p_1{p}_2...p_n),p_j|N\Rightarrow p_j|-1，矛盾。 \\ 所以形如4k-1（即4k+3）的素数有无穷多个。 \end{gathered}$$
 

命题：形如6k+5的素数有无穷多个。

$$\begin{gathered} 有引理可知形如6k-1（即6k+5）的合数必有相同形式的素因子。 \\ 假设形如6k-1的素数只有有限个，分别为p_1,p_2,...,p_n， \\ 令N=6p_1{p}_2...p_n-1，则N一定为合数，且具有形如4k-1的素因子（记为p_j）， \\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。 \\ 所以p_j|(p_1{p}_2...p_n),p_j|N\Rightarrow p_j|-1，矛盾。 \\ 所以形如6k-1（即6k+5）的素数有无穷多个。 \end{gathered}$$