特殊形式素数无穷性的证明

本文通过数学证明展示了形如4k+3和6k+5的素数有无穷多个,利用了引理关于特定形式正整数的素因数性质,反驳了有限个素数的假设。

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引理:任一形如3k-1, 4k-1, 6k-1形式的正整数必有相同形式的素因数。

证明:(1)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:3k−1,3k和3k+1。对于∀k1,k2∈Z,(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+1,3k1⋅3k2=3(3k1k2),3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1),即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1,形如3k的奇数的乘积仍形如3k,形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k,以上三种情况都无法得到形如3k−1的奇数,说明形如3k−1的奇数必有形如3k−1的素因子。(2)奇数也可以表示为以下两种形式中的一种:4k−1,和4k+1。对于∀k1,k2∈Z,(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+1,即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1,无法得到形如4k−1的奇数,说明形如4k−1的奇数必有形如4k−1的素因子。(3)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:6k−1,6k+1和6k+3。对于∀k1,k2∈Z,(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1,(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3,(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2),即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1,形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3,形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3,以上三种情况都无法得到形如6k−1的奇数,说明形如6k−1的奇数必有形如6k−1的素因子。证明:\\ (1)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:3k-1,3k和3k+1。\\ 对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(3k_1+1)(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\ 3k_1·3k_2=3(3k_1k_2),3k_1(3k_2+1)=3(3k_1k_2+k_1),\\ 即形如3k+1的奇数的乘积仍形如3k+1,形如3k的奇数的乘积仍形如3k,\\形如3k+1与3k的奇数的乘积也形如3k,以上三种情况都无法得到形如3k-1的奇数,\\ 说明形如3k-1的奇数必有形如3k-1的素因子。\\ (2)奇数也可以表示为以下两种形式中的一种:4k-1,和4k+1。\\ 对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(4k_1+1)(4k_2+1)=4(4k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\ 即形如4k+1的奇数的乘积仍形如4k+1,无法得到形如4k-1的奇数,\\ 说明形如4k-1的奇数必有形如4k-1的素因子。\\ (3)奇数可以表示为以下三种形式中的一种:6k-1,6k+1和6k+3。\\ 对于\forall k_1,k_2\in\mathbb{Z},(6k_1+1)(6k_2+1)=6(6k_1k_2+k_1+k_2)+1,\\ (6k_1+3)(6k_2+3)=6[6k_1k_2+3(k_1+k_2)]+3,\\ (6k_1+1)(6k_2+3)=6(6k_1k_2+3k_1+k_2),\\ 即形如6k+1的奇数的乘积仍形如6k+1,形如6k+3的奇数的乘积仍形如6k+3,\\形如6k+1与6k+3的奇数的乘积也形如6k+3,以上三种情况都无法得到形如\\6k-1的奇数,说明形如6k-1的奇数必有形如6k-1的素因子。13k13k3k+1k1,k2Z(3k1+1)(3k2+1)=3(3k1k2+k1+k2)+13k13k2=3(3k1k2)3k1(3k2+1)=3(3k1k2+k1)3k+13k+13k3k3k+13k3k3k13k13k124k14k+1k1,k2Z(4k1+1)(4k2+1)=4(4k1k2+k1+k2)+14k+14k+14k14k14k136k16k+16k+3k1,k2Z(6k1+1)(6k2+1)=6(6k1k2+k1+k2)+1(6k1+3)(6k2+3)=6[6k1k2+3(k1+k2)]+3(6k1+1)(6k2+3)=6(6k1k2+3k1+k2)6k+16k+16k+36k+36k+16k+36k+36k16k16k1
 

命题:形如4k+3的素数有无穷多个。

有引理可知形如4k−1(即4k+3)的合数必有相同形式的素因子。假设形如4k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=4p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如4k−1(即4k+3)的素数有无穷多个。有引理可知形如4k-1(即4k+3)的合数必有相同形式的素因子。\\ 假设形如4k-1的素数只有有限个,分别为p_1,p_2,...,p_n,\\ 令N=4p_1p_2...p_n-1,则N一定为合数,且具有形如4k-1的素因子(记为p_j),\\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\ 所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1,矛盾。\\ 所以形如4k-1(即4k+3)的素数有无穷多个。4k14k+34k1p1,p2,...,pnN=4p1p2...pn1N4k1pjpjp1,p2,...,pnpj(p1p2...pn),pjNpj14k14k+3
 

命题:形如6k+5的素数有无穷多个。

有引理可知形如6k−1(即6k+5)的合数必有相同形式的素因子。假设形如6k−1的素数只有有限个,分别为p1,p2,...,pn,令N=6p1p2...pn−1,则N一定为合数,且具有形如4k−1的素因子(记为pj),则pj必为p1,p2,...,pn中的一个。所以pj∣(p1p2...pn),pj∣N⇒pj∣−1,矛盾。所以形如6k−1(即6k+5)的素数有无穷多个。有引理可知形如6k-1(即6k+5)的合数必有相同形式的素因子。\\ 假设形如6k-1的素数只有有限个,分别为p_1,p_2,...,p_n,\\ 令N=6p_1p_2...p_n-1,则N一定为合数,且具有形如4k-1的素因子(记为p_j),\\ 则p_j必为p_1,p_2,...,p_n中的一个。\\ 所以p_j|(p_1p_2...p_n), p_j|N\Rightarrow p_j|-1,矛盾。\\ 所以形如6k-1(即6k+5)的素数有无穷多个。6k16k+56k1p1,p2,...,pnN=6p1p2...pn1N4k1pjpjp1,p2,...,pnpj(p1p2...pn),pjNpj16k16k+5

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