用反证法证明有无穷多个素数

本文详细解析了如何使用反证法证明有无穷多个素数,补充了书本证明中可能存在的不清晰之处。通过设定最大的素数Pk,构造N=P1*P2*P3*...*Pk +1,再利用反证法证明N是一个素数,从而推翻原假设,得出存在无穷多个素数的结论。

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如何用反证法证明有无穷多个素数

今天在数据结构和算法分析里第一张看到这个问题,感觉书上写的反证法不够通透,省略了一些思考的步骤。自己也琢磨了半天才完全理解。

补充一下素数的定义:一个大于1的自然数,而且不能被除了1和本身之外的其他自然数整除。

证明步骤如下:

1.假设不存在无穷多个素数,即只有有限个素数,我们把有限个素数中最大的素数设为Pk。

2.既然要证明有无穷多个素数,我们就要证明 1.中的假设错误,即存在大于假设的最大的素数Pk。

3.按照1.中的假设,令P1,P2,P3,...,Pk 是依序排列的所有素数,并令:

N = P1*P2*P3*...*Pk +1;

显然,N > Pk,如果我们能在1.中的假设的前提下证明 N 是一个素数的话,那就能推翻 1.中的假设,从而证明存在无穷多个素数。

下面再利用反证法来证明 N是一个素数。

4.假设N 不是一个素数,即N (N>2)能被 2 ~ N-1 中的某一个整数D整除。因为所有的整数都能用素数的乘积表示,所以按照有穷个素数的假设,P1,P2,P3,...,Pk 中必然有一个或多个是D的因子,我们设其中的一个因子为F。因为如果D能整除N,那么D的因子F也能整除N。然而由N的表达式可以显然易见地知道:F 属于{P1,P2,P3,...,Pk}集合,所以F整除N余1。由此得到在前提假设1.的条件下,假设4.自相矛盾。所以在1.的假设下,N为素数,而且N为大于 Pk的素数。这与1.的假设又相互矛盾,所以1.的假设错误。从而说明存在无穷个素数。


整个证明过程有点绕,但是只要弄清楚各个假设之间的关系就更清楚一些:

在假设1的前提条件下,假设4.得出的结论与假设4.自相矛盾,从而推出与假设4相反的结论,但是与假设4相反的结论与假设1.矛盾,从而推出假设1.为假。

为什么强调假设4.是在假设1.的前提之下,因为假如假设4.不是在假设1.条件之下的话, N = P1*P2*P3*...*Pk + 1  的因子可能有大于Pk的素数因子。从而无法证明假设4自相矛盾。当然,这个问题只是我自己感觉容易混淆的地方。

<think>我们使用反证法证明:若关系模式$R$满足BCNF,则$R$必然满足3NF。###证明步骤:1.**假设前提**:设关系模式$R$满足BCNF。2.**反设结论**:假设$R$不满足3NF(即存在违反3NF的情况)。3.**推导矛盾**:根据3NF的定义,若$R$不满足3NF,则存在以下情况之一:-存在非主属性对候选码的部分函数依赖。-存在非主属性对候选码的传递函数依赖。但根据BCNF的定义,这些情况都不可能发生,从而产生矛盾。###详细推导:####3NF的违反条件根据3NF定义[^2],$R$不满足3NF当且仅当存在一个函数依赖$X\toA$,其中:-$A$是非主属性(即$A$不属于任何候选码),-且$X$不是超键(即$X$不包含候选码),-并且$A$部分依赖于候选码或传递依赖于候选码。####反证过程1.假设$R$满足BCNF但不满足3NF。2.由于不满足3NF,则存在函数依赖$X\toA$满足:-$A$是非主属性,-$X$不是超键,-且$A$部分或传递依赖于某个候选码$K$。3.根据BCNF的定义[^2]:对于$R$中每一个非平凡函数依赖$Y\toB$,$Y$必须包含候选码(即$Y$是超键)。4.现在考虑这个违反3NF的函数依赖$X\toA$:-它是非平凡的(因为$A\not\subseteqX$,否则$A$是主属性),-且$X$不是超键。5.但根据BCNF要求,$X\toA$必须满足$X$是超键,这与第4点中“$X$不是超键”矛盾。###结论因此,假设不成立,即若$R$满足BCNF,则$R$必然满足3NF。###示例辅助理解-引用[1]中的例子说明,通过分解可以将不满足BCNF的关系转化为BCNF,同时也会满足3NF。-引用[2]直接指出:BCNF要求每个函数依赖$X\toA$中$X$是超键,而3NF允许$A$是主属性时$X$不是超键。因此当$R$满足BCNF时,必然满足3NF的条件(因为所有$X\toA$中$X$都是超键)[^2]。-引用[3]中的反证法思路也印证了这一点:若存在传递依赖$Y\toA$且$Y$不包含码,则违反BCNF[^3]。```python#伪代码:检查BCNF蕴含3NFdefBCNF_implies_3NF(R):ifRinBCNF:#检查是否违反3NFforeveryfunctional_dependencyX→AinR:ifAisnon_primeandXisnotsuperkey:returnFalse#违反3NF,但这与BCNF矛盾returnTrue#满足3NFelse:return"RnotinBCNF"```§§相关问题§§1.如何判断一个关系模式是否属于BCNF?2.在数据库设计中,为什么选择BCNF而不是3NF?3.是否存在一种情况,使得一个模式既不属于BCNF也不属于3NF?4.如何通过分解将一个非BCNF模式转化为BCNF模式?5.在实际应用中,BCNF和3NF的选择依据是什么?</think>### 使用反证法证明BCNF蕴含3NF #### 证明思路 设关系模式 $R$ 满足 BCNF,但**不满足 3NF**,我们将推导出矛盾,从而证明假设不成立。 #### 证明步骤 1. **假设前提** - $R$ 满足 BCNF:对任意非平凡函数依赖 $X \to Y$,$X$ 必包含候选码(即 $X$ 是超键)[^2] - 但 $R$ **不满足 3NF**:存在非主属性 $A$ 和属性集 $X$,使得: $$ \exists K \to X \to A $$ 其中: - $K$ 是候选码 - $X \not\to K$(即 $A$ 传递依赖于 $K$) - $A$ 是非主属性(不属于任何候选码) - $X$ 不是超键 2. **推导矛盾** 根据传递依赖 $K \to X \to A$: - 由 BCNF 定义,对函数依赖 $X \to A$: - 若 $X$ 是超键 → 符合 BCNF - 若 $X$ 不是超键 → 违反 BCNF - 但根据 3NF 违反条件: - $X$ 不是超键(由定义) - $A$ 是非主属性(由定义) - $X \to A$ 是非平凡依赖($A \not\subseteq X$) - **矛盾点**:$X \to A$ 满足: $$ \begin{cases} X \text{ 不是超键} \\ A \text{ 是非主属性} \end{cases} $$ 这直接违反 BCNF 要求($X$ 必须包含候选码)[^2] 3. **结论** 假设 "$R$ 满足 BCNF 但不满足 3NF" 导致矛盾,故若 $R$ 满足 BCNF,则必满足 3NF。 #### 关键解释 - **传递依赖导致矛盾**:3NF 的违反必然产生一个非超键决定因子 $X$ 和非主属性 $A$,这与 BCNF 要求"所有决定因子必须是超键"直接冲突[^3]。 - **BCNF 更严格**:BCNF 消除了 3NF 允许的例外情况(即"决定因子非超键但被决定属性是主属性"),因此 BCNF 必然是 3NF 的子集[^2]。 ```python # 形式化验证伪代码 def prove_bcnf_implies_3nf(): 假设 R 满足 BCNF 反设 R 不满足 3NF: 存在传递依赖 K → X → A (K是候选码, A是非主属性, X不是超键) 检查函数依赖 X → A: 条件1: X 不是超键 → 违反BCNF要求 条件2: A 是非主属性 → 不满足3NF例外条件 出现矛盾(BCNF定义被破坏) 结论:假设错误,故BCNF必然满足3NF ```
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