欧几里得算法
欧几里得算法又称为辗转相除法,是为了计算两个数的最大公约数。
定理:gcd(a,b)=gcd(b,amod  b)(a>b)gcd(a, b) = gcd(b, a\mod b ) (a> b)gcd(a,b)=gcd(b,amodb)(a>b)
证明:假设a>ba > ba>b,a 可以表示为a=k∗b+ra = k*b+ra=k∗b+r,则r=amod  br = a\mod br=amodb
1.对于充分性,假设 d 是 a,b的一个公约数,即d=gcd(a,b)d = gcd(a, b)d=gcd(a,b),则有a∣d,b∣da\mid d, b \mid da∣d,b∣d,(a和b都能被d整除),而r=a−k∗br = a- k* br=a−k∗b,因此r∣dr\mid dr∣d。即d=gcd(b,r)d = gcd(b, r)d=gcd(b,r)
2.对于必要性:假设d是gcd(b,amod  b)gcd(b, a\mod b)gcd(b,amodb)的公约数,即b∣d,r∣db\mid d, r\mid db∣d,r∣d,同样,因为a=k∗b+ra = k*b+ra=k∗b+r,则:a∣da\mid da∣d,即d=gcd(a,b)d = gcd(a, b)d=gcd(a,b)
由上可知,gcd(a,b)gcd(a, b)gcd(a,b) 与 gcd(b,amod  b)gcd(b, a\mod b)gcd(b,amodb)的公约数相等,则其最大公约数也相等。
辗转相除到最后,gcd(x,0)=xgcd(x, 0) = xgcd(x,0)=x。
代码:
int gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
int gcd(int a,int b)
{
int r;
while(b!=0)
{
r=a%b;//当a<b时第一个循环交换他们顺序
a=b;
b=r;
}
return a;
}
扩展欧几里得
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by=gcd(a,b)=dax+by = gcd(a, b) =dax+by=gcd(a,b)=d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
解 x,y的方法:
-
显然当 b=0,gcd(a,b)=ab=0,gcd(a,b)=ab=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0x=1,y=0x=1,y=0;
也就是1∗a+0∗b=a1*a+0*b = a1∗a+0∗b=a -
设 ax1+by1=gcd(a,b)ax1+by1=gcd(a,b)ax1+by1=gcd(a,b);
在下一个exgcd里 bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb);
根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(amodb)y2ax1+by1=bx2+(a mod b)y2ax1+by1=bx2+(amodb)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2=ay2+bx2−(a/b)∗by2ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2=ay2+bx2−(a/b)∗by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2。怎样求出最小整数解x呢?
ax+by=cax + by = cax+by=c其实就等价于ax≡c(modb)ax ≡ c (mod b)ax≡c(modb),当存在一个特解x1x1x1使得ax1+by1=cax1+by1=cax1+by1=c。那么x1x1x1加上若干倍bbb还是这个方程的解,即x=x1+k∗bx=x1+k*bx=x1+k∗b仍为方程的解。此时:y=y1−k∗ay=y1-k*ay=y1−k∗a.因而方程在[0,b−1][0, b-1][0,b−1]上一定有整数解(假如小于0,你加上若干倍b啊,就可以让它保持在000 ~ b−1b-1b−1中;如果大于b-1,你减去若干倍b啊,它也保持0~b-1)。(即x=(x%t+t)%tx=(x\%t+t)\%tx=(x%t+t)%t)
代码:
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a % b, x, y); //int r = exgcd(b, a % b, y, x);
int t = x; //y -= x*(a/b);
x = y;
y = t - (a / b) * y;
return r;
}
扩展欧几里得求逆元
若mx≡1modnmx≡1 mod nmx≡1modn, 则称m关于1模n的乘法逆元为x。也可表示为mx≡1(mod n)。逆元相当于数论中的倒数。
条件:只有当gcd(m,n)=1gcd(m, n) = 1gcd(m,n)=1,m才有关于模n的逆元。
- 利用费马小定理a⋅ap−2≡1(mod  p)a\cdot a^{p-2}\equiv1(\mod p)a⋅ap−2≡1(modp),ap−2a^{p-2}ap−2即为a关于模p的逆元,但只能求出p为素数的情况下的乘法逆元。
- 采用扩展欧几里德算法来计算普遍情况下的乘法逆元的情况。
由mx≡1modnmx≡1 mod nmx≡1modn,可以推出mx−kn=1mx-kn=1mx−kn=1,与ax+by=gcd(a,b)=1ax+by=gcd(a, b)=1ax+by=gcd(a,b)=1,相比较即可得出,令a=m,b=na = m,b = na=m,b=n,所求出x即为逆元,加上x=(x%t+t)%tx=(x\%t+t)\%tx=(x%t+t)%t即为最小逆元。
例题:51nod1256 求m关于模n最小逆元
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e6 + 10;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll r = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= x * (a / b);
return r;
}
int main()
{
ll m, n;
cin >> m >> n;
ll a, b, x, y;
a = m;
b = n;
ll gcd = exgcd(a, b, x, y);
cout << (x % b + b) % b << endl;
return 0;
}