扩展欧几里得算法(推导,逆元)

本文深入探讨了欧几里得算法,一种用于计算两数最大公约数的经典数学方法。文章详细解释了算法原理,包括辗转相除法,并介绍了扩展欧几里得算法,用于求解贝祖等式和模线性方程。此外,还讲解了如何利用扩展欧几里得算法求解乘法逆元。

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欧几里得算法

欧几里得算法又称为辗转相除法,是为了计算两个数的最大公约数。

定理:gcd(a,b)=gcd(b,amod  b)(a>b)gcd(a, b) = gcd(b, a\mod b ) (a> b)gcd(a,b)=gcd(b,amodb)(a>b)

证明:假设a>ba > ba>b,a 可以表示为a=k∗b+ra = k*b+ra=kb+r,则r=amod  br = a\mod br=amodb
1.对于充分性,假设 d 是 a,b的一个公约数,即d=gcd(a,b)d = gcd(a, b)d=gcd(a,b),则有a∣d,b∣da\mid d, b \mid dad,bd,(a和b都能被d整除),而r=a−k∗br = a- k* br=akb,因此r∣dr\mid drd。即d=gcd(b,r)d = gcd(b, r)d=gcd(b,r)
2.对于必要性:假设d是gcd(b,amod  b)gcd(b, a\mod b)gcd(b,amodb)的公约数,即b∣d,r∣db\mid d, r\mid dbd,rd,同样,因为a=k∗b+ra = k*b+ra=kb+r,则:a∣da\mid dad,即d=gcd(a,b)d = gcd(a, b)d=gcd(a,b)
由上可知,gcd(a,b)gcd(a, b)gcd(a,b)gcd(b,amod  b)gcd(b, a\mod b)gcd(b,amodb)的公约数相等,则其最大公约数也相等。

辗转相除到最后,gcd(x,0)=xgcd(x, 0) = xgcd(x,0)=x
代码:

int gcd(int a, int b)
{
  if(b == 0)
          return a;
    return  gcd(b, a % b);
}

int gcd(int a,int b)
{
    int r;
    while(b!=0)
    {
        r=a%b;//当a<b时第一个循环交换他们顺序
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by=gcd(a,b)=dax+by = gcd(a, b) =dax+by=gcd(a,b)=d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

解 x,y的方法:

  1. 显然当 b=0,gcd(a,b)=ab=0,gcd(a,b)=ab=0gcdab=a。此时 x=1,y=0x=1,y=0x=1y=0
    也就是1∗a+0∗b=a1*a+0*b = a1a+0b=a

  2. ax1+by1=gcd(a,b)ax1+by1=gcd(a,b)ax1+by1=gcd(a,b);
    在下一个exgcd里 bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb);
    根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
    则:ax1+by1=bx2+(amodb)y2ax1+by1=bx2+(a mod b)y2ax1+by1=bx2+(amodb)y2;
    即:ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2=ay2+bx2−(a/b)∗by2ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2ax1+by1=bx2+(a(a/b)b)y2=ay2+bx2(a/b)by2;
    根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
    这样我们就得到解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2。

    怎样求出最小整数解x呢?
    ax+by=cax + by = cax+by=c其实就等价于ax≡c(modb)ax ≡ c (mod b)axc(modb),当存在一个特解x1x1x1使得ax1+by1=cax1+by1=cax1+by1=c。那么x1x1x1加上若干倍bbb还是这个方程的解,即x=x1+k∗bx=x1+k*bx=x1+kb仍为方程的解。此时:y=y1−k∗ay=y1-k*ay=y1ka.因而方程在[0,b−1][0, b-1][0,b1]上一定有整数解(假如小于0,你加上若干倍b啊,就可以让它保持在000 ~ b−1b-1b1中;如果大于b-1,你减去若干倍b啊,它也保持0~b-1)。(即x=(x%t+t)%tx=(x\%t+t)\%tx=(x%t+t)%t)
    代码:

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);	//int r = exgcd(b, a % b, y, x);
    int t = x;						//y -= x*(a/b);
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return r;
}

扩展欧几里得求逆元

mx≡1modnmx≡1 mod nmx1modn, 则称m关于1模n的乘法逆元为x。也可表示为mx≡1(mod n)。逆元相当于数论中的倒数。
条件:只有当gcd(m,n)=1gcd(m, n) = 1gcd(m,n)=1,m才有关于模n的逆元。

  1. 利用费马小定理a⋅ap−2≡1(mod&ThinSpace;&ThinSpace;p)a\cdot a^{p-2}\equiv1(\mod p)aap21(modp)ap−2a^{p-2}ap2即为a关于模p的逆元,但只能求出p为素数的情况下的乘法逆元。
  2. 采用扩展欧几里德算法来计算普遍情况下的乘法逆元的情况。
    mx≡1modnmx≡1 mod nmx1modn,可以推出mx−kn=1mx-kn=1mxkn=1,与ax+by=gcd(a,b)=1ax+by=gcd(a, b)=1ax+by=gcd(a,b)=1,相比较即可得出,令a=m,b=na = m,b = na=m,b=n,所求出x即为逆元,加上x=(x%t+t)%tx=(x\%t+t)\%tx=(x%t+t)%t即为最小逆元。
例题:51nod1256 求m关于模n最小逆元
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e6 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= x * (a / b);
    return r;
}
int main()
{
    ll m, n;
    cin >> m >> n;
    ll a, b, x, y;
    a = m;
    b = n;
    ll gcd = exgcd(a, b, x, y);
    cout << (x % b + b) % b << endl;
    return 0;
}
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