截止频率的定义

截止频率的定义

截止频率（Cutoff Frequency）是指在电子电路（如滤波器、放大器、传输线等）中，信号的功率、电压或电流下降到特定比例时对应的频率。它是电路频率响应的关键参数，用于划分“通带”（信号能有效传输的频率范围）和“阻带”（信号被显著衰减的频率范围）。

最常见的定义是：当信号的功率下降到通带内最大功率的 1/2（即功率衰减3dB）时的频率，称为3dB截止频率（也叫半功率点频率）。此时对应的电压或电流幅值下降到通带内最大值的 $1/\sqrt{2}\approx 0.707$ 倍。

截止频率的计算（常见电路示例）

不同电路的截止频率计算公式不同，以下是典型电路的推导：

1. RC低通滤波器（RC Low-Pass Filter）

电路结构：电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，输入信号加在串联电路两端，输出信号取自电容两端。

截止频率定义：输出电压幅值下降到输入电压幅值的 $1/\sqrt{2}$ 倍时的频率。

推导过程：

• 电路的容抗 $X_C=\frac{1}{2\pi fC}$
• 总阻抗 $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$
• 输出电压与输入电压的比值（幅频特性）：
  $$\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\frac{X_C}{Z}=\frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fRC{)}^2}}$$
• 令 $\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得截止频率 $f_c$：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

2. RC高通滤波器（RC High-Pass Filter）

电路结构：电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，输入信号加在串联电路两端，输出信号取自电阻两端。

截止频率计算：

• 幅频特性：$\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\frac{R}{Z}=\frac{2\pi fRC}{\sqrt{1+(2\pi fRC{)}^2}}$
• 令比值为 $1/\sqrt{2}$，解得截止频率与低通滤波器相同：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

3. RL低通滤波器（RL Low-Pass Filter）

电路结构：电阻 $R$ 与电感 $L$ 串联，输入信号加在串联电路两端，输出信号取自电阻两端。

截止频率计算：

• 感抗 $X_L=2\pi fL$
• 幅频特性：$\left|\frac{V_{out}}{V_{in}}\right|=\frac{R}{\sqrt{R^2+X_L^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{2\pi fL}{R}\right)}^2}}$
• 令比值为 $1/\sqrt{2}$，解得截止频率：

$$f_c=\frac{R}{2\pi L}$$

4. 单级共射放大电路（晶体管/运放）

共射放大电路的截止频率由输入回路的RC时间常数（基极-发射极间电容与输入电阻）或输出回路的RC时间常数（集电极-发射极间电容与输出电阻）决定，本质与RC滤波器一致。

• 输入回路截止频率：$f_{c1}=\frac{1}{2\pi R_{in}{C}_{in}}$（$R_{in}$ 为输入电阻，$C_{in}$ 为输入电容）
• 输出回路截止频率：$f_{c2}=\frac{1}{2\pi R_{out}{C}_{out}}$（$R_{out}$ 为输出电阻，$C_{out}$ 为输出电容）

总结

截止频率的核心是“信号幅值/功率衰减到特定比例的频率”，最常用3dB衰减定义。具体计算公式取决于电路的电抗元件（电容/电感）与电阻的组合，本质是通过电路的时间常数（$\tau =RC$ 或 $\tau =L/R$）推导得出，通用形式可表示为：

$$f_c=\frac{1}{2\pi \tau }$$

其中 $\tau$ 为电路的时间常数（RC电路中 $\tau =RC$，RL电路中 $\tau =L/R$）。