【Algorithms】堆排序(Heap Sort)

简述

堆排序（英语：Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

所以在了解堆排序之前，就不得不了解一下二叉树

在计算机科学中，二叉树（英语：Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”（left subtree）或“右子树”（right subtree）。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

二叉树是一个有根树，并且每个节点最多有2个子节点。非空的二叉树，若树叶总数为 n0，分支度为2的总数为 n2，则 n0 = n2 + 1。

 

一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树（如图b）。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（如图a）。具有n个节点的完全二叉树的深度为log2(n+1)。深度为k的完全二叉树，至少有2k-1个节点，至多有2k-1个节点。

与普通树不同，普通树的节点个数至少为1，而二叉树的节点个数可以为0；普通树节点的最大分支度没有限制，而二叉树节点的最大分支度为2；普通树的节点无左、右次序之分，而二叉树的节点有左、右次序之分。

二叉树通常作为数据结构应用，典型用法是对节点定义一个标记函数，将一些值与每个节点相关系。这样标记的二叉树就可以实现二叉搜索树和二叉堆，并应用于高效率的搜索和排序。

那么在了解二叉树后，我们如何利用完全二叉树来建立一个堆呢？

我们首先来看一下堆的定义，堆（英语：Heap）是计算机中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。

如上图，这就是一组大根堆，及根结点元素为最大元素，并且不只是这样哦，有没有发现所有的父结点都要比子结点要大（圆圈里面的数是值，圆圈上面的数是结点编号），所以我们把符合这样特点的完全二叉树称为大根堆，类似的我们可以得出小根堆的定义（其实细心的同学能够发现在二叉树中的两个例子就是小根堆哦）。

那么这样一个堆要怎么用数组储存呢？我们通过观察结点编号容易发现，每一个父结点的左子结点的编号总是父结点的二倍，右子结点总是二倍加一，所以我们就可以通过这一特点将一颗完全二叉树用数组进行存储了（如图）。

那么讲了那么多，如何实现一个大根堆（或小根堆）呢，我们可以通过堆的下移操作来进行实现。

即类似于这种操作，下面是代码实现（代码以小根堆为例，当时敲的是从小到大排序，懒得改了嘿嘿）

void siftdown(int m)
{
	int t,flag=0;
	while(2*m<=n&&flag==0){ //如果该结点有左子结点，那么比较是否需要下移；
		if(h[m]>h[2*m]){
			t=2*m;
		}else{
			t=m;
		}
		if(2*m+1<=n){ //如果该结点有右子结点，比较一下左右子结点大小，选择更小的与之交换；
			if(h[t]>h[2*m+1]){
				t=2*m+1;
			}
		}
		if(t==m){
			flag=1; //此时没有发生交换，说明该元素已经满足堆，跳出循环；
		}else{
			swap(m,t);
			m=t;
		}
	}
	return;
}

void creat()
{
	int i,j,x,y;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i];
	}
			cout<<endl;
	for(i=n/2;i>=1;i--){  //这里只需要从第n/2个元素进行下移，直到第一个元素即可 
		siftdown(i);
	}
	for(i=1,j=1,x=1,y=1;i<=n;i++,j++){   // 输出一下已建好的小根堆 
		cout<<h[i]<<" ";
		if(j%y==0){
			cout<<endl;
			x*=2;
			y+=x;
		}
	}
	cout<<endl<<endl;
	return;
}

堆排序实现

终于到正题啦~所以现在我们就可以利用完全二叉树来进行堆排序了。首先来一张堆排序的模拟图

堆排序原理

所谓的堆排序，其实就是每次将最大元素（最小元素）从大根（小根）堆顶提取出来，然后将堆的最后一个元素移至堆顶，继续进行大根堆（小根堆）的维护，直到堆内元素为空，排序停止，依次输出从堆顶取出的元素就好了

#include<iostream>

using namespace std;

int h[101];
int n;

void swap(int a,int b)
{
	int x;
	x=h[a];
	h[a]=h[b];
	h[b]=x;
	return;
}

void siftdown(int m)
{
	int t,flag=0;
	while(2*m<=n&&flag==0){ //如果该结点有左子结点，那么比较是否需要下移；
		if(h[m]>h[2*m]){
			t=2*m;
		}else{
			t=m;
		}
		if(2*m+1<=n){ //如果该结点有右子结点，比较一下左右子结点大小，选择更小的与之交换；
			if(h[t]>h[2*m+1]){
				t=2*m+1;
			}
		}
		if(t==m){ //此时没有发生交换，说明该元素已经满足堆，跳出循环；
			flag=1;
		}else{
			swap(m,t);
			m=t;
		}
	}
	return;
}

void creat()
{
	int i,j,x,y;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i];
	}
			cout<<endl;
	for(i=n/2;i>=1;i--){  //这里只需要从第n/2个元素进行下移，直到第一个元素即可 
		siftdown(i);
	}
	for(i=1,j=1,x=1,y=1;i<=n;i++,j++){   // 输出一下已建好的小根堆 
		cout<<h[i]<<" ";
		if(j%y==0){
			cout<<endl;
			x*=2;
			y+=x;
		}
	}
	cout<<endl<<endl;
	return;
}

int deletemax() //移除堆顶元素，保存到 p[]数组中 
{
	int t;
	t=h[1];
	h[1]=h[n];
	n--;		//记得将堆的元素个数减一哦 
	siftdown(1);
	return t;
}

int main()
{
	cin>>n;
	int p[101],i,num;
	num=n;
	creat();
	for(i=1;i<=num;i++){
		p[i]=deletemax();
	}
	for(i=1;i<=num;i++){ // 最后 p[]数组中就是已经排好序的元素了 
		cout<<p[i]<<" "; 
	}
	return 0;
}