经典排序算法——堆排序超详解及其衍生问题(通俗易懂)

提示1：本篇使用Python实现算法代码

一、堆的前备知识

（一）树、二叉树介绍

1.树

树是一种数据结构，那么什么是树结构呢？

        树结构好比你电脑的文件目录结构，其底层就是树结构的层级关系。

        树也是一种可以递归定义的数据结构，树是由n个节点组成的集合：如果n=0，那这是一颗空树；如果n>0，那么存在一个节点作为树的根节点（下一段有介绍），其他节点可以分为m个集合，每个集合本身又是一颗树。为了能够理解这句话，我给出下面一张树的图，如图我们看，如果n=0，那么这棵树没有任何节点，则是一颗空树，如果n>0则A就是这整棵树的根节点，而诸如B、C、D、E等等，其余下部分本身又都是一棵树（如图二给出的部分示例）。

图一

图二 

怎么看待树结构呢？

        简单来说，树就是由许多个节点连接组成，且有相应的层级关系，类似于族谱，在最上面的“祖宗”我们称他为根节点，但在树结构中没有爷爷或者其他一说，节点和节点之间的关系只有父节点和子节点。这里我给出下面这张图，如图R是根节点，而a，b，c都是R的子节点，那么R就是a、b、c的父节点，同样的以下节点都有相应的相互关系。

        接下来介绍关于树的几个概念：

        叶子节点，为了能够更好的理解叶子节点，我们不如将图三中的树倒过来看，就像一颗树，树的最顶端最上面才是叶子，那么在树结构中也是同样的道理，最顶端的节点就是叶子节点，下图中的j、k、e、f、g、m、n、i均为叶子节点

        树的深度（高度）：很显然，树的深度就是树的层数，如下图树的深度为4。

        树的度：在介绍树的度之前我想先介绍一下节点的度，什么是节点的度，简单来说就是这个节点有多少个子节点，例如图中的R有三个子节点，那么他的度为3，以此类推。那么什么是树的度呢，树的度就是这整颗树中所有节点中最大的那个度，下图中该树的度为3，因为R节点和c节点的度都为3且最大。

        子树：关于子树，上面的图二中有很多示例，很简单，把根节点R看成树的下半部分，从他的子节点开始当做树的树枝部分，你每掰下一串树枝都可以成为这棵树的子树。

图三

2.二叉树        

二叉树基本介绍：

1.二叉树为度不超过2的树

2.树的每个节点最多有两个子节点（根据上面树的介绍其实和第一点是一个道理）

3.两个子节点被区分为左子结点和右子节点

        了解完二叉树的基本性质之后，完成堆排序我们需要了解以下几种二叉树：

        第一种：满二叉树，一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

图四 满二叉树

        第二种：完全二叉树，叶子节点只能出现在最下层和次下层，并且最下层的节点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。

图五 完全二叉树

        第三种：非完全二叉树，根据完全二叉树的定义，不满足其定义的二叉树就是非完全二叉树，如下图中的二叉树均不是完全二叉树，因为其某些叶子节点不在该层的最左边位置。

图六 非完全二叉树

        若还不能理解，下面给出一篇优秀博客，详尽的介绍了树以及二叉树的相关概念。

树、二叉树、完全二叉树、满二叉树的概念和性质-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/weixin_57675461/article/details/121323091

        3.练习

        给出下面几张树的图片，请判断其为什么二叉树（结尾附答案）

图七 某树