面试经典（6）--连续子数组最大和--二维

前面写了一篇一维数组求连续子数组最大和http://blog.youkuaiyun.com/getnextwindow/article/details/23958529。二维的情况会复杂很多会巧妙的借用一维的算法。

如果暴力解法，复杂度明显不尽如人意，因为求和的过程中，有很多冗余情况，所以我们可以考虑将前面求和的结果保存下来，以空间换时间，这样可以降低复杂的。设PS[i][j]是以（i,j),(1,j),(i,1),(1,1)为顶点的矩形区域的元素之和。

稍微分析一下得，PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+A[i][j];

利用两层循环就可以递推得PS[i][j]。

我们前面提到，一维数组的连续子数组求和线性完成，我们考虑能否把二维的转换为一维。

上图就说明了问题，我们把a行c行之间的列看成一个“元素”，这样就转换成一维的情况。只要枚举a、c就可以扫描出所有矩形。

代码如下：

#define MAX 100
int A[MAX][MAX];
long long PS[MAX][MAX];


long long MatrixSum(int a,int c,int i)
{
	return PS[c][i]-PS[c][i-1]-PS[a-1][i]+PS[a-1][i-1];
}

int find_max(int n,int m)
{
	int a,c,i,j;
	for(i=1;i<=m;i++)
		PS[0][i]=0;
	for(j=1;j<=n;j++)
		PS[j][0]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
			PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+M[i][j];
	int maxval=INT_MIN; 
	for(a=1;a<=n;a++)
	{
		for(c=a;c<=n;c++)
		{
			long long curSum=MatrixSum(a,c,1);
			long long maxsum=INT_MIN;
			for(i=1;i<=m;i++)
			{
				if(curSum<=0)
					curSum=MatrixSum(a,c,i);
				else
					curSum+=MatrixSum(a,c,i);
				if(curSum>maxsum)
					maxsum=curSum;
			}
			if(maxsum>maxval)
				maxval=maxsum;
		}
	}
	return maxval;
}

参考： http://blog.youkuaiyun.com/linyunzju/article/details/7723730