面试经典（6）--连续子数组最大和--二维

最新推荐文章于 2019-09-15 11:57:47 发布

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分类专栏：面试算法文章标签：微软面试工作

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/GetNextWindow/article/details/24087213

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本文介绍一种高效算法来解决二维矩阵中寻找具有最大和的子矩阵问题。该算法通过预处理部分和矩阵减少重复计算，并借鉴一维数组最大子数组和的解法思路，将二维问题转化为一系列一维问题进行求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前面写了一篇一维数组求连续子数组最大和http://blog.youkuaiyun.com/getnextwindow/article/details/23958529。二维的情况会复杂很多会巧妙的借用一维的算法。

如果暴力解法，复杂度明显不尽如人意，因为求和的过程中，有很多冗余情况，所以我们可以考虑将前面求和的结果保存下来，以空间换时间，这样可以降低复杂的。设PS[i][j]是以（i,j),(1,j),(i,1),(1,1)为顶点的矩形区域的元素之和。

稍微分析一下得，PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+A[i][j];

利用两层循环就可以递推得PS[i][j]。

我们前面提到，一维数组的连续子数组求和线性完成，我们考虑能否把二维的转换为一维。

上图就说明了问题，我们把a行c行之间的列看成一个“元素”，这样就转换成一维的情况。只要枚举a、c就可以扫描出所有矩形。

代码如下：

#define MAX 100
int A[MAX][MAX];
long long PS[MAX][MAX];


long long MatrixSum(int a,int c,int i)
{
	return PS[c][i]-PS[c][i-1]-PS[a-1][i]+PS[a-1][i-1];
}

int find_max(int n,int m)
{
	int a,c,i,j;
	for(i=1;i<=m;i++)
		PS[0][i]=0;
	for(j=1;j<=n;j++)
		PS[j][0]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
			PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+M[i][j];
	int maxval=INT_MIN; 
	for(a=1;a<=n;a++)
	{
		for(c=a;c<=n;c++)
		{
			long long curSum=MatrixSum(a,c,1);
			long long maxsum=INT_MIN;
			for(i=1;i<=m;i++)
			{
				if(curSum<=0)
					curSum=MatrixSum(a,c,i);
				else
					curSum+=MatrixSum(a,c,i);
				if(curSum>maxsum)
					maxsum=curSum;
			}
			if(maxsum>maxval)
				maxval=maxsum;
		}
	}
	return maxval;
}

参考： http://blog.youkuaiyun.com/linyunzju/article/details/7723730