一、定义
四元数的结构如下所示：
q
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
,
q
∈
H
,
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
\mathbf q = a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k,\, \mathbf q \in \mathbb{H}, \, a,b,c,d\in \mathbb{R}
q=a+bi+cj+dk,q∈H,a,b,c,d∈R
用 H \mathbb H H 表示四元数是为了纪念发明者 Hamilton。
四元数是简单的超复数，可以实际上理解为四维的复数——
a
a
a 是实部；
b
i
+
c
j
+
d
k
b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k
bi+cj+dk 是虚部，满足如下关系式：
i
2
=
j
2
=
k
2
=
−
1
i
j
=
k
,
j
k
=
i
,
k
i
=
j
j
i
=
−
k
,
k
j
=
−
i
,
i
k
=
−
j
\mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1 \\ ~\\ \mathbf {ij} = \mathbf k,\, \mathbf {jk} = \mathbf i,\, \mathbf {ki} = \mathbf j \\ \mathbf {ji} = -\mathbf k,\, \mathbf {kj} = -\mathbf i,\, \mathbf {ik} = -\mathbf j \\
i2=j2=k2=−1 ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−j
可以发现，虚数单位之间存在特殊的 -1 等式，比如用
i
j
\mathbf {ij}
ij 替换
k
2
\mathbf k ^2
k2 中的一个
k
\mathbf k
k。如此，我们能得到三个特殊的 -1 等式：
i
j
k
=
j
k
i
=
k
i
j
=
−
1
\mathbf {ijk} = \mathbf {jki} = \mathbf {kij} = -1
ijk=jki=kij=−1
对于 i , j , k \mathbf i ,\mathbf j ,\mathbf k i,j,k，代数上它们是彼此独立的虚数单位，几何上可以理解为不同方向上的旋转。详情可见百度词条“四元数”。
二、模长（范数 Norm）
与复数相同，四元数也可以看做向量形式：
q
=
(
a
b
c
d
)
T
\mathbf q = \begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix}^T
q=(abcd)T
四元数的标准基是
{
1
,
i
,
j
,
k
}
\begin{Bmatrix} 1, \,\mathbf i,\, \mathbf j,\, \mathbf k \end{Bmatrix}
{1,i,j,k}。如果仅是为了像复数那样按虚实部分开，还有一种更简洁的简记形式：
q
=
[
a
,
v
]
,
v
=
(
b
c
d
)
T
\mathbf q = \begin{bmatrix} a,\, \mathbf v \end{bmatrix},\, \mathbf v = \begin{pmatrix} b & c & d \end{pmatrix}^T
q=[a,v],v=(bcd)T
于是，可以像定义向量模长（2-范数）那样定义四元数模长：
∥
q
∥
=
a
2
+
∥
v
∥
2
=
a
2
+
v
⋅
v
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
\begin{aligned} \Vert \mathbf q \Vert &= \sqrt{a^2 + \Vert \mathbf v \Vert^2} = \sqrt{a^2 + \mathbf v \cdot \mathbf v} \\ &= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \end{aligned}
∥q∥=a2+∥v∥2=a2+v⋅v=a2+b2+c2+d2
三、四元数乘法——哈密顿积
四元数乘法（哈密顿积）与复数乘法有所不同。虽然四元数的实部依旧可以视作是标量的形式，但因为虚部从可以视作标量的单个单位、转为了带有方向意义的多个单位，故四元数虚部乘法不再遵守一般的交换律，这也导致四元数乘法如同矩阵乘法，存在左乘和右乘的区别。
取四元数
q
1
=
[
a
1
,
v
1
]
=
a
1
+
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
,
q
2
=
[
a
2
,
v
2
]
=
a
2
+
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
\mathbf{q_1} = \begin{bmatrix} a_1,\, \mathbf v_1 \end{bmatrix} = a_1 + b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k,\,\mathbf{q_2} = \begin{bmatrix} a_2,\, \mathbf v_2 \end{bmatrix} = a_2 + b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k
q1=[a1,v1]=a1+b1i+c1j+d1k,q2=[a2,v2]=a2+b2i+c2j+d2k，它们的哈密顿积记作：
q
1
⊗
q
2
=
(
a
1
+
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
)
(
a
2
+
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
)
=
a
1
a
2
+
a
1
(
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
)
+
a
2
(
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
)
+
(
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
)
(
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
)
\begin{aligned} \mathbf{q_1} \otimes \mathbf{q_2} =& \left(a_1 + b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k\right) \left(a_2 + b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k\right) \\ =& a_1a_2 + a_1\left(b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k\right) + a_2\left(b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k\right) +\\ & \left(b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k\right) \left(b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k\right) \end{aligned}
q1⊗q2==(a1+b1i+c1j+d1k)(a2+b2i+c2j+d2k)a1a2+a1(b2i+c2j+d2k)+a2(b1i+c1j+d1k)+(b1i+c1j+d1k)(b2i+c2j+d2k)
这里为了简便运算，我推荐大家拆成两部分来看。首先是比较简单的：
P
1
≔
a
1
a
2
+
a
1
(
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
)
+
a
2
(
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
)
=
a
1
a
2
+
a
1
v
2
+
a
2
v
1
\begin{aligned} P_1 \coloneqq& a_1a_2 + a_1\left(b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k\right) + a_2\left(b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k\right) \\ =& a_1a_2 + a_1 \mathbf{v_2} + a_2\mathbf{v_1} \end{aligned}
P1:==a1a2+a1(b2i+c2j+d2k)+a2(b1i+c1j+d1k)a1a2+a1v2+a2v1
P
1
P_1
P1 部分是显然的标量运算，现在来关注比较复杂的
P
2
P_2
P2：
P
2
≔
(
b
1
i
+
c
1
j
+
d
1
k
)
(
b
2
i
+
c
2
j
+
d
2
k
)
P_2 \coloneqq \left(b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k\right) \left(b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k\right)
P2:=(b1i+c1j+d1k)(b2i+c2j+d2k)
这部分不能只是简单地理解为向量 内积 或 外积（格拉斯曼积 Graßmann Product），接下来我们来计算
P
2
P_2
P2：
P
2
=
(
b
1
b
2
i
2
+
c
1
c
2
j
2
+
d
1
d
2
k
2
)
+
[
(
c
1
d
2
j
k
+
d
1
c
2
k
j
)
+
(
b
1
d
2
i
k
+
d
1
b
2
k
i
)
+
(
b
1
c
2
i
j
+
c
1
b
2
j
i
)
]
=
−
v
1
⋅
v
2
+
v
1
×
v
2
\begin{aligned} P_2 =& \left( b_1b_2\mathbf i^2 + c_1c_2\mathbf j^2 + d_1d_2\mathbf k^2 \right) + \\ &\left[(c_1d_2\mathbf{jk} + d_1c_2\mathbf{kj}) + (b_1d_2\mathbf{ik} + d_1b_2\mathbf{ki}) + (b_1c_2\mathbf{ij} + c_1b_2\mathbf{ji}) \right] \\ =& - \mathbf{v_1}\cdot \mathbf{v_2} + \mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} \end{aligned}
P2==(b1b2i2+c1c2j2+d1d2k2)+[(c1d2jk+d1c2kj)+(b1d2ik+d1b2ki)+(b1c2ij+c1b2ji)]−v1⋅v2+v1×v2
从而，我们能总结四元数的代数运算规律：
q
1
⊗
q
2
=
(
a
1
a
2
−
v
1
⋅
v
2
)
+
(
a
2
v
1
+
a
1
v
2
+
v
1
×
v
2
)
=
[
a
1
a
2
−
v
1
⋅
v
2
,
a
2
v
1
+
a
1
v
2
+
v
1
×
v
2
]
\begin{aligned} \mathbf{q_1} \otimes \mathbf{q_2} =& \left( a_1a_2 - \mathbf{v_1}\cdot \mathbf{v_2} \right) + \left( a_2\mathbf{v_1} + a_1 \mathbf{v_2} + \mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} \right) \\ =& \begin{bmatrix} a_1a_2 - \mathbf{v_1}\cdot \mathbf{v_2},\, a_2\mathbf{v_1} + a_1 \mathbf{v_2} + \mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} \end{bmatrix} \end{aligned}
q1⊗q2==(a1a2−v1⋅v2)+(a2v1+a1v2+v1×v2)[a1a2−v1⋅v2,a2v1+a1v2+v1×v2]
当然，四元数的运算也能视作矩阵运算，对任意四元数
q
=
[
a
,
v
]
\mathbf q = \begin{bmatrix} a,\, \mathbf v \end{bmatrix}
q=[a,v]，记被乘四元数
r
=
[
b
,
u
]
\mathbf r = \begin{bmatrix} b,\, \mathbf u \end{bmatrix}
r=[b,u]，有
q
⊗
r
=
(
a
−
v
T
v
a
I
+
[
v
]
×
)
(
b
u
)
\begin{aligned} \mathbf{q} \otimes \mathbf{r} =& \begin{pmatrix} a & -\mathbf v^T \\ \mathbf v & a\mathbf I +[\mathbf v]_\times \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ \mathbf u \end{pmatrix} \end{aligned}
q⊗r=(av−vTaI+[v]×)(bu)
一般，哈密顿积中间的 ⊗ \otimes ⊗ 符号可省略进行简记。
四元数集构成了一个非交换的可除代数（即除法环），这是历史上第一个被发现的此类代数结构，打破了人们对代数必须满足乘法交换律的古老信念 。虽然不再满足乘法的交换律，但其依然满足结合律与分配律。
四、纯四元数
如果四元数
q
\mathbf q
q 的实部为 0，即：
[
0
,
v
]
\begin{bmatrix} 0,\, \mathbf v \end{bmatrix}
[0,v]
则称
q
\mathbf q
q 为纯四元数。任意的三维向量
v
\mathbf v
v，其坐标都可以看做纯四元数，我们用
v
v
v 来代表
v
\mathbf v
v 对应的纯四元数。对于两个纯四元数
v
=
[
0
,
v
]
,
u
=
[
0
,
u
]
v = \begin{bmatrix} 0,\, \mathbf v \end{bmatrix},\, u = \begin{bmatrix} 0,\, \mathbf u \end{bmatrix}
v=[0,v],u=[0,u]，有
v
u
=
[
−
v
⋅
u
,
v
×
u
]
u
v
=
[
−
u
⋅
v
,
u
×
v
]
v\, u = \begin{bmatrix} -\mathbf{v}\cdot \mathbf{u},\, \mathbf{v}\times \mathbf{u} \end{bmatrix} \\ ~\\ u\, v = \begin{bmatrix} -\mathbf{u}\cdot \mathbf{v},\, \mathbf{u}\times \mathbf{v} \end{bmatrix}
vu=[−v⋅u,v×u] uv=[−u⋅v,u×v]
显然，这两个结果是实部相同，虚部方向相反的两个四元数（下一节，我们就会提到，这两个结果是互为共轭的）。进一步说明，四元数的乘法不满足一般的交换律。
五、共轭和逆
类似复数，我们记四元数
q
=
[
a
,
v
]
\mathbf q = \begin{bmatrix} a,\, \mathbf v \end{bmatrix}
q=[a,v] 的共轭为
q
∗
=
[
a
,
−
v
]
\mathbf{q}^* = \begin{bmatrix} a,\, -\mathbf v \end{bmatrix}
q∗=[a,−v]，有
q
q
∗
=
[
a
2
+
v
⋅
v
,
0
]
=
a
2
+
v
⋅
v
=
∥
q
∥
2
=
∥
q
∗
∥
2
=
q
∗
q
\begin{aligned} \mathbf q \, \mathbf q^* =& \begin{bmatrix} a^2 + \mathbf v\cdot\mathbf v,\, \mathbf 0 \end{bmatrix} = a^2 + \mathbf v\cdot\mathbf v \\ =& \Vert \mathbf q \Vert^2 = \Vert \mathbf q^* \Vert^2 \\ =& \mathbf q^* \, \mathbf q \end{aligned}
qq∗===[a2+v⋅v,0]=a2+v⋅v∥q∥2=∥q∗∥2q∗q
显然地，共轭除了可交换外，也满足性质 ( q ∗ ) ∗ = q (\mathbf q^*)^* = \mathbf q (q∗)∗=q。
因为四元数的代数系统没有特定的除法运算，故当两个四元数 p , q \mathbf{p,q} p,q，需要进行除法运算，像是 p / q \mathbf p /\mathbf q p/q，我们会定义为 p q − 1 \mathbf p\, \mathbf q^{-1} pq−1。注意，顺序一般不可交换。
四元数
q
−
1
\mathbf q^{-1}
q−1 即
q
\mathbf q
q 的逆，满足
q
q
−
1
=
q
−
1
q
=
1
\mathbf q\, \mathbf q^{-1} = \mathbf q^{-1}\, \mathbf q = 1
qq−1=q−1q=1，可通过如下方式推导：
q
−
1
q
q
∗
=
q
∗
q
−
1
∥
q
∥
2
=
q
∗
⇒
q
−
1
=
q
∗
∥
q
∥
2
\mathbf q^{-1}\, \mathbf q\, \mathbf q^* = \mathbf q^* \\ \mathbf q^{-1}\, \Vert \mathbf q\Vert^2 = \mathbf q^* \\ ~\\ \Rightarrow\, \mathbf q^{-1} = \frac{\mathbf q^*}{\Vert \mathbf q\Vert^2}
q−1qq∗=q∗q−1∥q∥2=q∗ ⇒q−1=∥q∥2q∗
如果
q
\mathbf q
q 是一个单位四元数，即
∥
q
∥
=
1
\Vert \mathbf q\Vert = 1
∥q∥=1，那么有：
q
−
1
=
q
∗
\mathbf q^{-1} = \mathbf q^*
q−1=q∗
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