Modern Robotics单个刚体的动力学

Modern Robotics单个刚体的动力学

基本公式

考虑刚体由质量为$m_i$的一系列质点$i$组成，总质量为$\text{m}={\sum }_i{\text{m}}_i$。物体坐标系原点建立在刚体质心处$r_i=(x_i,y_i,z_i)$，则有${\sum }_i{\text{m}}_i{r}_i=0$.

设一个刚体的运动旋量为${\mathcal{V}}_b=({\omega }_b,v_b)$,质点${\text{m}}_i$的位置坐标为$p_i(t)$, 在惯性坐标系{b}的最初位置为$r_i$。注意这些物理量都是在物体坐标系中描述，那么有
$$\begin{gathered} {\dot{p}}_i=v_b+{\omega }_b\times p_i \\ {\ddot{p}}_i={\dot{v}}_b+\frac{d}{dt}{\omega }_b\times p_i+{\omega }_b\times \frac{d}{dt}{p}_i \\ ={\dot{v}}_b+{\dot{\omega }}_b\times p_i+{\omega }_b\times (v_b+{\omega }_b\times p_i) \end{gathered}$$
把$r_i$代替$p_i$，并使用反对称矩阵表示叉乘，那么有
$${\ddot{p}}_i={\dot{v}}_b+[{\dot{\omega }}_b]r_i+[{\omega }_b]v_b+[{\omega }_b{]}^2{r}_i$$
根据牛顿第二定律，对于一个质点有$f_i=m_i{\ddot{p}}_i$,作用在质点$m_i$的力为
$$f_i={\text{m}}_i({\dot{v}}_b+[{\dot{\omega }}_b]r_i+[{\omega }_b]v_b+[{\omega }_b{]}^2{r}_i)$$
这意味着力矩为
$$m_i=[r_i]f_i.$$
作用在刚体的总力和总力矩用力旋量${\mathcal{F}}_b$表示为
$${\mathcal{F}}_b=\left[\begin{array}{c}{m}_b\\ f_b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sum }_i{m}_i\\ {\sum }_i{f}_i\end{array}\right]$$
下面化简$f_b,m_b$,注意到${\sum }_i{\text{m}}_i{r}_i=0$(因此，${\sum }_i{\text{m}}_i[r_i]=0$), 对于$a,b\in {\mathbb{R}}^3,[a]=-[a{]}^T,[a]b=-[b]a,[a][b]=([b][a]{)}^T$.这些关系在下面化简中会用到。

平动动力学
fb=∑imi(v˙b+[ω˙b]ri+[ωb]vb)+[ωb]2ri=∑imi(v˙b+[ωb]vb)−∑imi[ri]ω˙b+∑imi[ri][ωb]ωb=m(v˙b+[ωb]vb).(8.22) f_b=\sum _i\text m_i(\dot v_b+[\dot\omega_b]r_i+[\omega_b]v_b)+[\omega_b]^2r_i\\ =\sum_i\text m_i(\dot v_b+[\omega_b]v_b)-\sum_i\text m_i[r_i]\dot\omega_b+\sum_i\text m_i[r_i][\omega_b]\omega _b\\ =\text m(\dot v_b+[\omega_b]v_b).\tag{8.22} fb​=i∑​mi​(v˙b​+[ω˙b​]ri​+[ωb​]vb​)+[ωb​]2ri​=i∑​mi​(v˙b​+[ωb​]vb​)−i∑​mi​[ri​]ω˙b​+i∑​mi​[ri​][ω