【笔记】数论基础

数论基础

定义

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼$\zeta$函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。（摘自百度百科）

分解质因数

对于一个合数$n$，可以把它分解成几个质数的乘积。
$$n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_m^{c_m}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}$$
其中，$p_i$为$n$的质因子，$c_i$为每个质因子的指数，$m$为$n$的质因子的个数。

约数

若$b|a$（$b$整除$a$），则称$b$为$a$的约数。

对于一个正整数$n$，它的正整数集合为：

$$N=\left\{p_1^{b_1},p_2^{b_2},p_3^{b_3},...,p_m^{b_m}\right\}$$
其中，$0⩽b_i⩽c_i$。

它的正约数个数为：

$$f(n)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times (c_3+1)\times ...\times (c_m+1)=\prod _{i=1}^m(c_i+1)$$

它的正约数和为：

$$(p_1^0+p_1^1+p_1^2+......p_1^{c_1})\ast ......\ast (p_m^0+p_m^1+p_m^2+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_m^{c_m})=\prod _{i=1}^m\left(\sum _{j=0}^{c_i}{p}_i^j\right)$$

最大公约数与最小公倍数

最大公约数$(gcd)$：两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
最小公倍数$(lcm)$：两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。

最大公约数与最小公倍数与最小公倍数的性质：

• $a\times b=gcd(a,b)\times lcm(a,b)$。
• 设$m,a,b$为正整数，则$lcm(ma,mb)=m\times lcm(a,b)$。
• $gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，（欧几里得算法、辗转相除法）。
• $gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)$。
• $gcd(2a,2b)=gcd(a,b)$。

欧拉函数

一个正整数$n$的欧拉函数值$\phi (n)$等于小于等于它的与它互质的数的个数。
$$\phi (n)=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times (1-\frac{1}{p_3})\times ...\times (1-\frac{1}{p_m})=n\times \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$$

欧哈函数的证明：

将正整数$n$分解质因数后我们可以得到：
$$n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_m^{c_m}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}$$
对于每个质因子$p_i$，除了它的一倍以外，它的所有倍数都不与$n$互质。
由此我们可以得出，对于每个质因子$p_i$，不与$n$互质的数的个数有$\frac{n}{p_i}$个，与$n$互质的数的个数有$n-\frac{n}{p_i}$个。
把这个式子提取公因式，可以得到$n\times (1-\frac{1}{p_i})$。
对每个质因子$p_i$都做相同的处理，就得到了欧拉函数$\phi (n)=n\times {\prod }_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$。

欧拉函数的性质：

• $\phi (1)=1$。
• 若$p$为质数，则$\phi (p)=p-1$。
• 若$p$为质数，对于$n=p^k$，有$\phi (n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$。
• $\phi (a\times b)=\phi (a)\times \phi (b)$。
• 对于质数$p$，若$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=0$，则$\phi (n\times p)=\phi (n)\times p$；若$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\ne 0$，则$\phi (n\times p)=\phi (n)\times (p-1)=\phi (n)\times \phi (p)$。
• 若$n>1$，则$[1,n]$中与$n$互质的数的和为$n\times \frac{\phi (n)}{2}$。

同余

对于一个正整数$m,a,b$，若满足$m|(a-b)$（即$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m=b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$），则称整数$a$与$b$对模$m$同余，记作$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。

设$mod$为$n$，则根据余数可将所有的整数分为$n$类，把所有与整数$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$同余的整数构成的集合叫做$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$的一个剩余类。

对于集合$N=\left\{r_1,r_2,r_3,...,r_{\phi (n)}\right\}$，集合中的每个质数均与$n$，则称该集合为$n$的既约剩余系。

同余定理：

• $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当$m|(a-b)$。
• $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当且仅当存在$a=b+km$。

同余的性质：

• $a\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
• 若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$b\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
• 若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
• 若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a+c\equiv b+c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
• 若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a\times c\equiv b\times c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
• 若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a^c\equiv b^c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
• 若$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=x,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q=x$，则$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(pq)=x$。

欧拉定理

若$gcd(a,b)=1$（$a$与$b$互质），则$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。

费马小定理

若$p$为质数，对于正整数$a$，有$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

裴蜀定理

对于正整数$a,b$，一定存在一对正整数$x,y$，使$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$

扩展欧几里得

扩展欧几里得算法用于求给定$a,b$的方程$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$的解。

• 当$b=0$时，有$x=1,y=0$，使$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$。
• 当$b>0$时，因为$$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$所以$$a\times x+b\times y=b\times x^{\prime }+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{\prime }$$化解得$$a\times x+b\times y=b\times x+(a-b\times \frac{a}{b})\times y^{\prime }=a\times y^{\prime }+b\times (x^{\prime }-\frac{a}{b}\times y^{\prime })$$另
  $$\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-\frac{a}{b}\times y^{\prime }\end{array}.$$
  即为$x,y$的解。

扩展欧几里得的通解：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\times t\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\times t\end{array}$$
其中，$x_0,y_0$为方程$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$的特解。

逆元

若$b,m$互质，且$b|a$，则存在$x$，使$\frac{a}{b}\equiv a\times (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，称$x$为$b$的$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$乘法逆元，记为$b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。