Luogu_P1297 单选错位

单选错位

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Luogu_P1297 单选错位

题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。
试卷上共有$n$道单选题，第$i$道单选题有$a_i$个选项，这$a_i$个选项编号是$1,2,3,\dots ,a_i$ ，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上$1\sim a_i$的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$道题目。gx 则是认认真真地做完了这$n$道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第$i$道题目的答案抄到了答题纸上的第$i+1$道题目的位置上，特别地，第$n$道题目的答案抄到了第$1$道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

输入格式

$n$很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有$5$个整数参数$n,A,B,C,a_1$，由上交的程序产生数列$a$。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;

// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
	a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到$n$和数列$a$（$a$的元素类型是$3$位整数），$n$和$a$的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数，表示 gx 期望做对的题目个数，保留三位小数。

输入输出样例

输入 #1复制

3 2 0 4 1

输出 #1复制

1.167

说明/提示

【样例说明】

正确答案	gx的答案	做对题目	出现概率
$1,1,1$	$1,1,1$	$3$	$\frac{1}{6}$
$1,2,1$	$1,1,2$	$1$	$\frac{1}{6}$
$1,3,1$	$1,1,3$	$1$	$\frac{1}{6}$
$2,1,1$	$1,2,1$	$1$	$\frac{1}{6}$
$2,2,1$	$1,2,2$	$1$	$\frac{1}{6}$
$2,3,1$	$1,2,3$	$0$	$\frac{1}{6}$

$a=2,3,1$。

共有$6$种情况，每种情况出现的概率是$\frac{1}{6}$，gx 期望做对$\frac{3+1+1+1+1+0}{6}=\frac{7}{6}$题。（相比之下，lc 随机就能期望做对$\frac{11}{6}$题）

对于$30\%$的数据，$n\le 10,C\le 10$。

对于$80\%$的数据，$n\le 10^4,C\le 10$。

对于$90\%$的数据，$n\le 5\times 10^5,C\le 10^8$。

对于$100\%$的数据，$2\le n\le 10^7,0\le A,B,C\le 10^8，1\le a_i\le 10^8$。

思路

我觉得我还是对概率和期望理解得不够深刻。

期望值的定义：
期望值是随机变量的值乘以其概率的总和。

若记随机变量$x$可能的取值为$x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$，他们取到的概率分别为$p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n$，那么随机变量$x$的期望值为：
$$E(x)=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i$$

本题中，对于$T_i$和$T_{i+1}$，它们的选项的结果总共可能有$a_i\times a_{i+1}$种，每种组合出现的概率为$\frac{1}{a_i\times a_{i+1}}$，而在$T_{i+1}$中可能的正确答案有$min(a_i,a_{i+1})$种（之所以正确答案有$min(a_i,a_{i+1})$种，是因为 gx 既然能够在$T_i$中选出正确选项，并填到$T_{i+1}$的位置去，那么 gx 能选的选项不会超过$min(a_i,a_{i+1})$个，并且题目保证了 gx 的选项一定是正确的）。

因此，gx 做对本题的概率为$\frac{min(a_i,a_{i+1})}{a_i\times a_{i+1}}$。把做对每一题的概率加起来，就是我们要的答案。

注意，$T_n$要特判。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
ll n,A,B,C,a[10000001];
ld e;
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C,a+1);
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		a[i]=(a[i-1]*A+B)%100000001;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i] %C+1;
	for(ll i=1;i<n;i++)
		e=e+(min(a[i],a[i+1])*1.0)/(a[i]*a[i+1]*1.0);//min(a[i],a[i+1])/(a[i]*a[i+1])就是每道题做对的概率；
	e=e+(min(a[n],a[1])*1.0)/(a[n]*a[1]*1.0);
	printf("%.3Lf",e);
	return 0;
}