【数据结构】3.图、最小生成树

一、图的基本概念

1.什么是图

图表示一种多对多的关系。图包括：
1）一组顶点：通常用 V (Vertex) 表示顶点集合
2）一组边：通常用 E (Edge) 表示边的集合
3）边是顶点对：(v, w) $\in$ E ，其中 v, w $\in$ V ；有向边 < v, w> 表示从v指向w的边（单行线）；不考虑重边和自回路。

2.数据类型描述

数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成。

3.图的表示

1）邻接矩阵

2）邻接表
邻接表：G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

3）两种的比较：
邻接矩阵：
1）方便检查任意一对顶点间是否存在边
2）方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
3）方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
但是对于稀疏的图，十分浪费空间和时间。
邻接表：
1）方便找任一顶点的所有“邻接点”
2）节约稀疏图的空间：N个头指针 + 2E个结点（每个结点至少2个域）
3）对于无向图方便计算度，但是对于有向图，只方便计算出度，如果需要计算入度，需要一个逆邻接表。
4）不方便查找任意两顶点之间是否有边相连
对于稀疏的图，方便，对于稠密的图不如邻接矩阵省空间；而且如果点和边有权值，则需要更多的存储空间，但是邻接矩阵就可以直接修改矩阵中的值。

二、图的遍历

1.图连通的概念

连通：如果从V到W存在一条（无向）路径，则称V和W是连通的
路径：V到W的路径是一系列顶点{V, v1, v2, …, vn, W}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图
中的边。路径的长度是路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。如果V到W之间的所
有顶点都不同，则称简单路径
回路：起点等于终点的路径
连通图：图中任意两顶点均连通

连通分量：无向图的极大连通子图：两个条件：
极大顶点数：再加1个顶点就不连通了
极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边

强连通：有向图中顶点V和W之间存在双向路径，则称V和W是强连通的
强连通图：有向图中任意两顶点均强连通
强连通分量：有向图的极大强连通子图

2.广度优先、深度优先搜索

问题求解：状态空间图和盲目搜索

三、图中最短路径问题

1.概念

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。
这条路径就是两点之间的最短路径（Shortest Path）：
第一个顶点为源点（Source）
最后一个顶点为终点（Destination）

2.Dijkstra算法

对于无权图最短路径搜索的算法其实就是广度优先深度优先的形式，而对于有权图，最基本的算法就是Dijkstra算法。

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2021.5.21

四、最小生成树

1.基本概念

2.Prim算法

3.Kruskal算法

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2021.5.21

# 五、拓扑排序 拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序，获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序。