快速幂模板及对其的理解

下面先贴上学长教的快速幂模板：

typedef long long ll;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll ans=1;
	a%=mod;
	while(b>0)
	{
		if(b & 1)
		{
			ans=(ans*a)%mod;
		}
		a=(a*a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

那么这个快速幂是如何实现的呢？

原理就是将a^b拆分掉，拆分成若干部分，每一部分a的指数都是2的n次方的格式，下面是一个例子：

就像这样指数b被拆分成了三个部分，被拆分的三个部分对应了二进制的13（1101）的三个1，由此我们得知，可以对指数b进行相应的位运算判断和实时更新a来计算a的b次方，下面是对于代码的解释：

在qpow函数中定义了ans并赋给其初值1，用它来表示最终答案，然后进入while循环，首先进行按位与操作，这一步操作的目的是看看二进制的b的最低位是否为1，若为1代表被拆分成的各个部分中有这一部分，那就让ans乘上此时的a，完事之后要更新a的值，以和此时遍历到的b的位匹配上，如何更新？只要让a*a即可，打个比方，遍历到b的最低位时，a就是a的2的0次方，也就是它本身，b的最低为不为0，那就让ans乘上现在的a，更新a，并让b右移1位来舍弃b的最低位（因为已经用完它了）；当遍历到b的次低位时，此时a的值是a的2的1次方（在上一步计算完ans后a更新了），但此时b的次低位的值是0，因此这一轮ans不更新，但是a还要更新，因为马上就要遍历到b的倒数第三位了，a的值要与之匹配，然后b再右移一位舍弃掉次高位，往后一直重复这样的操作，直到b变为0，也就是不能再分了为止，最后跳出循环并将最终结果ans返回。

可以拿这一个题练练手：链接