【算法及其原理】 Tarjan——求有向图中的强连通分量

强连通分量定义：

在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

Tarjan算法：

假设图有n个节点，m条边。该算法可以在O（n+m）的时间复杂度中输出所有强连通分量

所用数据结构说明：

数组 dfn[]：记录每个点按照DFS被访问顺序的时间戳

数组 low[]：记录每个点所能访问到的时间戳最靠前的点的时间戳

栈 S：按顺序记录当前DFS树中的节点

算法流程：

tarjan(u){

    dfn[u] = low[u] = ++index

    S.push(u)

    for each (u, v) in E

        if (v is not visited)

            tarjan(v)

            low[u] = min(low[u],low[v])

        else if (v in S)

            low[u] = min(low[u],dfn[v])

        if (dfn[u] == low[u]) {

            w = S.pop()

        } until (w == u) //将该点之前的所有点作为一个强连通分量出栈

}

算法原理：

1、为什么出栈的部分是强连通分量：

①设结束点为k，则对于任意非结束点i，有low[k] = dfn[k] <= low[i] < dfn[i]

②每一次出栈的节点必然是深搜树中某一棵子树的全部节点

结合以上两点，我们可以发现：这一部分的任何一个点都可以访问到结束点，结束点可以访问到任何一个点，所以任意两点间必然能够有回路，得证

对于前者，利用反证法：假设这一部分点中存在一个点无法回访到结束点，则设其能够回访到的dfn最小的点为i，则由性质①可得low[i] < dfn[i]，即i可以访问到dfn更小的点，故矛盾

对于后者，由性质②结合性质①后半部分可得，结束点必为该子树的根，由DFS性质可得，其必能访问到之后的每一个点

※关于第②点，有两种考虑方法：

i）整个深搜和访问（判断low[i]与dfn[i]）实际上是后序遍历，所以每一个被确定的结束点必然是一棵子树的根 

ii) 反证法：如果这些点分处在多棵子树中，那么在回溯时，靠前的部分会被先从搜索树中除去（从栈中弹出）

2、为什么出栈的部分是完整的强连通分量：

假设出栈的是不完整的强连通分量，则其剩余的部分结点可能存在三种情况：

①在栈中

②尚未进栈

③之前已经出栈

对于情况②：尚未进栈意味着不存在一条由已知点通向该点的路，所以必然不可能处于该强连通分量中

对于情况①：假设此时的结束点为i，则对于栈中的任意点j，此次出栈的任意点k，有dfn[j] < dfn[i] <= low[k]，即此次出栈的任意点都无法回访到尚在栈中的点，故不可能处于该强连通分量中

对于情况③：与情况①相同（此次出栈的部分等价于对之前某次出栈操作而言的“在栈中”部分）

参考链接：http://blog.youkuaiyun.com/zakheav/article/details/46424251

参考了这位老哥的证明逻辑以及对于第二个问题的证明，但是对于第一个问题，即“为什么是强连通的”，我对于他的证明存有疑问：边BA不存在于回路中为什么能够得到low[A] == dfn[A]？

A虽然不能回访到B，但可以指向他所绘图中B所在的红圈圈中的其他点，因为我们此时的条件是存在一条边不在回路中，而不是仅存在一条边不在回路中，所以B所在的红圈中可能存在点和B在不同的搜索子树上且不指向B