[BZOJ1345][Baltic2007]序列问题Sequence(单调栈)

本文介绍了一种使用单调栈优化的算法,通过维护一个单调递减的栈来解决元素合并问题,实现最小化合并代价的目标。

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这里放传送门

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题解

显然我们有一种很差劲的方法就是用最大的元素一个个去合并掉所有的元素,这样虽然易于操作【雾】但造成的代价会很大。。。所以应该让较小的元素尽可能地多合并其它的元素。于是维护一个单调递减的栈,如果新元素比栈顶元素小的话就直接入栈,否则就把栈顶元素合并掉。因为对于栈顶元素来说此时它左右两边第一个比它大的数字都找到了,所以它最终肯定是合并到两个数字中的一个。原因是以右边为例,只要有右边第一个比它大的数字k放在那里,再更靠右的所有数字都没有贡献了,因为如果这些数字比k大,那么肯定不如k更优;如果比k小,那么肯定并不过来会被k挡住。于是合并的时候要判断一下是往栈内倒数第二个元素合并还是往将要入栈的元素a[i]合并。最后合并所有栈内元素直到只剩下一个就可以了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[1000010],st[1000010],top;
long long ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while (top!=0&&a[i]>=st[top]){
            if (st[top-1]<a[i]&&top!=1)//注意判断条件top!=1
              ans+=st[top-1];
            else ans+=a[i];
            top--;
        }
        st[++top]=a[i];
    }
    while (top>1){//注意这里是大于1而不是大于0,因为最后要剩下一个
        ans+=st[--top];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

偏偏在最后出现的补充说明

感觉单调栈的问题变化形式很多啊。。还是要考虑“第一个比它大/小”的数字会产生什么影响对吧。。。。

好的,这是一道经典的单调栈问题。题目描述如下: 有 $n$ 个湖,第 $i$ 个湖有一个高度 $h_i$。现在要在这些湖之间挖一些沟渠,使得相邻的湖之间的高度差不超过 $d$。请问最少需要挖多少个沟渠。 这是一道单调栈的典型应用题。我们可以从左到右遍历湖的高度,同时使用一个单调栈来维护之前所有湖的高度。具体来说,我们维护一个单调递增的栈,栈中存储的是湖的下标。假设当前遍历到第 $i$ 个湖,我们需要在之前的湖中找到一个高度最接近 $h_i$ 且高度不超过 $h_i-d$ 的湖,然后从这个湖到第 $i$ 个湖之间挖一条沟渠。具体的实现可以参考下面的代码: ```c++ #include <cstdio> #include <stack> using namespace std; const int N = 100010; int n, d; int h[N]; stack<int> stk; int main() { scanf("%d%d", &n, &d); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i]); int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { while (!stk.empty() && h[stk.top()] <= h[i] - d) stk.pop(); if (!stk.empty()) ans++; stk.push(i); } printf("%d\n", ans); return 0; } ``` 这里的关键在于,当我们遍历到第 $i$ 个湖时,所有比 $h_i-d$ 小的湖都可以被舍弃,因为它们不可能成为第 $i$ 个湖的前驱。因此,我们可以不断地从栈顶弹出比 $h_i-d$ 小的湖,直到栈顶的湖高度大于 $h_i-d$,然后将 $i$ 入栈。这样,栈中存储的就是当前 $h_i$ 左边所有高度不超过 $h_i-d$ 的湖,栈顶元素就是最靠近 $h_i$ 且高度不超过 $h_i-d$ 的湖。如果栈不为空,说明找到了一个前驱湖,答案加一。
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