数论概论读书笔记 21.-1是模p平方剩余吗? 2呢

-1是模p平方剩余吗? 2呢

通过前一章的讨论，我们清楚了对于任何一个素数，$[1,p-1]$有一半是二次剩余，以及哪些数字是二次剩余，哪些不是。

现在我们考虑对于一个数$a$，看看对于哪些$p$，这个数是$QR$

先考虑这样一个问题，对于哪些素数$p$，同余式$x^2\equiv -1\ (mod \ p)$有解。或者说，对哪些素数，$\left( \frac{-1}{p} \right)=1$

同样，通过列出小的数据，可以看出：

若$p$与1模4同余，则$-1$似乎是$p$的$QR$；若$p$与3模4同余，则$-1$似乎是二次非剩余。

用来证明这个猜想的工具称为“费马小定理的平方根”，

即$A=a^\frac{p-1}{2} \ mod \ p$值为多少？

显然$A^2\equiv 1 \ mod \ p$

因此$p$整除$(A-1)(A+1)$

从而$p$要么整除$(A-1)$要么整除$(A+1)$

因此$A$要么和$1$模$p$同余，要么和$-1$

一个结论是，对于一个$p$，若$a$是二次剩余，则$A\equiv 1 \ (mod \ p)$； 若$a$不是二次剩余，则$A \equiv -1\ (mod \ p)$

即下面的欧拉准则

欧拉准则： 设$p$为素数，则

$$a^\frac{p-1}{2}\equiv \left( \frac{a}{p} \right) \quad mod \ p$$
证明 当$a$是$QR$时，则$a\equiv g^{2k}\ (mod \ p)$ ，则$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (g^{p-1})^k\equiv 1\ (mod \ p)$

当$a$是$NR$时，则$a\equiv g^{2k+1} \ (mod \ p)$，则$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv g^{\frac{p-1}{2}} \ （mod \ p)$

由前面讨论知道，$a^{\frac{p-1}{2}}$要么和$1$模$p$同余，要么和$-1$。这里由于$g$是原根，则和$1$模$p$同余的最小次幂只能是$p-1$。

所以这里$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \ (mod \ p)$

证毕。

有了欧拉准则，就可以轻松的判断$-1$是不是$p$的二次剩余了。

定理 二次互反律—part one

设$p$为素数，若$p$与1模4同余，则$-1$是$p$的$QR$；若$p$与3模4同余，则$-1$是$NR$。

用勒让德符号表示如下：

$$\left( \frac{-1}{p} \right)= \left\{\begin{matrix} 1 \quad 若p\equiv 1 \ (mod \ 4) \\ -1 \quad 若p\equiv 3 \ (mod \ 4) \end{matrix}\right.$$
证明 带入欧拉准则即证。

使用二次互反律part one 可以证明一个问题：存在无穷多个素数与1模4同余。具体过程见书本。

二次互反律成功回答了标题的第一个问题。辣么对于2呢？

同样，我们做一些小数据，对于$2$是$QR$的$p$和是$NR$的$p$这两类，看模某个数，有没有规律了……

当然，是有规律的……

如果直接使用欧拉准则，即$2^{\frac{p-1}{2}} \ mod \ p$，似乎不能看出结果是1还是-1。

高斯提出了一个方法，可以简单地知道$2^{\frac{p-1}{2}} \ mod \ p$的值是-1还是1，和二次互反律part one一样简单：

$p$是一个素数，令$P=\frac{p-1}{2}$，从偶数$2,4,6,...,p-1$开始，将它们相乘，并从每个数中提出2因子，可得

$$2*4*6*\cdots*(p-1)=2^P*P!$$
然后再对$2,4,6,...,p-1$进行模$p$化简，使其全部落在$[-P,P]$之间，乘起来。

比较这两个乘积，可得

$$2^P*P!\equiv (-1)^{负号的个数}* P! \ (mod \ p)$$
负号的个数是指对$2,4,6,...,p-1$进行模$p$化简后落在$[-P,-1]$之间的个数。消去$P!$，得
$$2^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{负号的个数} \quad (mod \ p)$$
于是当负数的个数为偶数时，$2$是$p$的二次剩余。

而这里负数的个数和$p$相关，具体如下：

定理 二次互反律—part two

$$\left( \frac{2}{p} \right)= \left\{\begin{matrix} 1 \quad 若p\equiv 1或7 \ (mod \ 8) \\ -1 \quad 若p\equiv 3 或5\ (mod \ 8) \end{matrix}\right.$$
证明 用上面的高斯trick，可以感觉出负号的个数与的关系。