图论——AtCoder Grand Contest #C Squared Graph

• 题目链接： http://agc011.contest.atcoder.jp/tasks/agc011_c

• 题意： 给出一个N个点，M条边的无向图（无自环，重边），现在构造出一个新图，有N*N个点，若在原图中存在边（a，b）和（a’，b’），则新图中存在从点（a，a’）到点（b，b’）的无向边。求新图中的联通分量的个数

• 分析：
  我们可以将原题转换成：给出2个无向图A和B，当且仅当图A中存在边（a，b），图B中存在边（a’，b’）时，新图中存在点（a，a’）到点（b，b’）的无向边。
  所以，我们可以发现，新图中2个点连接的前提条件下，是这2个点对应的（x，y）坐标在原图中都对应连接。
  那么，我们可以开始计算原图中孤立点的个数：

  1. A图中孤立的点和B图中孤立的点构成新图中的点$(I_a，I_b)$ 也是孤立的

  2. A图中孤立的点和B图中非孤立的点构成新图中的点$(I_a，N_b-I_b)$也是孤立的

  3. B图中孤立的点和A图中非孤立的点构成新图中的点$(I_b，N_a-I_a)$也是孤立的

  处理完孤立的点后，我们再来看剩下的联通分量。每一个联通分量我们可以当做一个‘点’来处理，这样看，似乎它的计算方式和孤立点一样：$P_a\times P_b$ 即可。但是如果这个联通分量是二分图的话，根据二分图的性质，情况就不一样了：

  1. 假设原图A和B中都含有一个二分图，且每个二分图分成S集合和T集合，那么以这两个二分图为基础，我们可以在新图中构建出2个联通分量：$(S_A，S_B)-(T_A，T_B)$ 和 $(S_A，T_B)-(T_A，S_A)$

  2. 所以我们需要单独计算出二分图联通分量的个数$Q$和非二分图联通分量的个数$P$

  3. 那么这些原图中联通分量构成新图中联通分量的为：$(P_A，P_B)$，$(P_A，Q_B)$，$(P_B，Q_A)$ 和$2*(Q_A，Q_B)$

  所以最终结果为 :
  $(I_A\times I_B + I_A \times (N_B − I_B) + I_B\times (N_A − I_A)) + P_A\times P_B + P_A\times Q_B + Q_A\times P_B + 2\times Q_A\times Q_B$
  并且算法复杂度为二分图判定的时间复杂度，即等同于遍历了所有边，即$O(M)$

• AC 代码：

/*************************************************************************
> File Name: test.cpp
> Author: Akira
> Mail: qaq.febr2.qaq@gmail.com
************************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long double LD;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) ((a)*(a))
using namespace std;

#define MaxN 100010
#define MaxM MaxN*20
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI 3.1415926535897932384626
const int mod = 1E9 + 7;
const double eps = 1e-6;
#define bug cout<<88888888<<endl;
#define debug(x) cout << #x" = " << x;
int N, M;
struct Edge
{
    int u, v, next;
}edge[MaxM];
int cont;
int head[MaxN];
int vis[MaxN];
int col[MaxN];
void add(int u, int v)
{
    edge[cont].u = u;
    edge[cont].v = v;
    edge[cont].next = head[u];
    head[u] = cont++;
}
void Add(int u, int v) { add(u, v); add(v, u); }
void init()
{
    cont = 0;
    MST(head, -1);
    CLR(vis);
}
int main()
{
    //std::ios::sync_with_stdio(false);
    while (~scanf("%d%d", &N, &M))
    {
        init();
        while (M--)
        {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            Add(u, v);
        }
        LL I = 0, Q = 0, P = 0;
        for (int i = 1; i<=N; i++)
        {
            if(!vis[i]) 
            {
                bool flag = true;
                queue<int> q;
                vector<int> V;
                q.push(i);
                V.push_back(i);
                vis[i] = 1;
                col[i] = 0;
                while(!q.empty())
                {
                    int u = q.front();
                    q.pop();
                    for(int j=head[u];j!=-1;j=edge[j].next)
                    {
                        int v = edge[j].v;
                        if(!vis[v])
                        {
                            vis[v] = 1;
                            q.push(v);
                            V.push_back(v);
                            col[v] = col[u] + 1;
                        }
                        else
                        {
                            if( (col[v]-col[u])%2 == 0) flag = false;
                        }
                    }
                }               

                if (V.size() == 1) I++;
                else
                {
                    if (flag) Q++;
                    else P++;
                }
            }
        }
        //cout << I << " " << Q << " " << P << endl;
        LL ans = 2*I*N - I*I + P*P + 2 * P*Q + 2*Q*Q;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    //system("pause");
}