网络流 （基础学习）

网络流

1. 流网络G（V，E）是一个有向图，其中每条边( u, v )∈E 均有一非负容量 c( u, v ) ≥ 0，规定：若 u , v ∉E，则 c( u, v ) = 0。

2. 网络中由两个特殊点： 源点S和汇点T

3. 网络中的边相当于是粗细不同的水管，c( u, v ) 相当于是水管的直径。

4. 流网络G的流是一个实值函数 f : V×V -> R，且满足下列三个性质：
   (1)容量限制：对于$∀u,v∈V ，要求 f (u,v) ≤ c(u,v)$。
   (2) 反对称性：对于$∀u,v∈V ，要求 f (u,v) = −f (v,u)$。
   (3) 流守恒性：对于$∀u,v∈V −{s,t}，要求∑f (u,v) =0$。

5. 最大流最小割定理：最小割的容量等于最大流
   割：割是一个边集，去掉这个边集会使得S到不了T。
   最小割：边集容量最小的割。
   残留容量：不超过容量限制下，某条边还能通过的额外的网络流量：$C_f(u,v) = c(u,v)−f (u,v)$
   残留网络：可以理解成由可以容纳更多流的边组成的网络，起始网络也是一张残留网络。
   增广路径：一条从源点到汇点的路径，要求该路径上每条边的残留容量均大于0。这条路径上可以增加的最大流量为所有边的残留容量中的最小值。
   定理：如果$f$ 是具有源点S和汇点T的流网络$(V, E)$中的一个流，则下列条件是等价的：
   (1)$f$是 $G$的一个最大流
   (2) 残留网络$G$ 不包含增广路径
   (3) 对$G$的某个割,有$|f|=c(u,v)$

6. 几种求最大流最小割的算法：

   $Edmonds Karp$ : 先在残留网络上进行BFS，找出一条增广路径，沿着增广路径进行增广，找出路径上的最大流F，即最小的残留容量。再更新残留网络，对于每条路径上的边$(u, v)$，$f(u,v)+=F$，$C_f(v,u)+=F$ 并且还有 $f(v,u)-=F$，$C_f(v, u)+=F$，后两个式子保证流的守恒性，也给了系统纠正错误的机会。不断重复这两个过程，当无法找到增广路径时，最大流就找到了。

   $Dinic$：因为$Edmonds Karp$ 算法中的BFS一次只增广一条增广路，时间上很浪费，所以$Dinic$算法再前者基础上进行了改进，在BFS时。给每个节点加上一个距离标号，表示与源点S的距离，在找增广路时只需沿着距离标号递增的顺序即可。相当于DFS，多次增广。

   $ISAP$：ISAP在Dinic的基础上多了一个gap优化，gap[i]记录标号为i的点的个数，当网络出现断层即gap[i] == 0时，说明以及不存在增广路，也就找到了最大流。
   预留推进$(push-relable)$ 算法：