Tyvj 1072 LCIS - DP

最新推荐文章于 2019-09-21 19:56:00 发布

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动态规划

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本文介绍了解决最长公共递增子序列(LCIS)问题的一种动态规划方法。通过对传统的LIS和LCS算法的结合改进，设计了状态转移方程并优化了计算过程，实现了高效求解。

这个题需要把LIS和LCS合二为一

首先设f(i,j)表示从A1~Ai 和 B1~Bj 两段区间中，以Bj结尾的LCIS最大长度

注意，这里相当于固定住了“Bj是什么”这个问题，并且状态和转移是对于每一个固定的Bj才有意义的

再具体一点，因为关于A1~Ai的循环是套在B1~Bj外面的，所以在进行B1~Bj的循环时，可以将Ai看作一个常量，这个时候对答案有影响的参数就只有i，j和Bj，状态就可以设计出来。
转移：

当 A[i] !=B[j]时

f (i, j) = f (i - 1, j)

$f(i,j)=f(i-1,j)$
当A[i]==B[j]时

f (i, j) = m a x {f (i - 1, k)} + 10 \leq k < j 且 B k < B j

$f(i,j)=max\{ f(i-1,k)\}+1 \ \ \ \ \ 0\leq k<j 且B_k<B_j$
然而会T。。。
所以这个时候可以转化一下DP方程
可以发现第二种情况时，A[i]==B[j]
所以方程可以写为

f (i, j) = m a x {f (i - 1, k)} + 10 \leq k < j 且 B k < A i

$f(i,j)=max\{ f(i-1,k)\}+1 \ \ \ \ \ 0\leq k<j 且B_k<A_i$
通过上文，我们知道在ij二重循环时，j的循环节内，可以将i看作常数

因此 $B_k$ 一直都在和一个常数作比较，那么我们就可以开一个变量记下最大且满足条件的 $f（i-1，k）$ ，从而省去了一重循环，但是要记得每次新的i循环开始时要初始化maxf

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int INF = 1 << 30;
const int MAXN = 3010;
int n;
int a[MAXN], b[MAXN],ans;
int f[MAXN][MAXN],maxf;
int main() {
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        cin >> a[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> b[i];
    b[0] = -INF;
    for(int i=1; i<=n; i++) {   
        maxf = 0;
        for(int j=1; j<=n; j++) {   
            if(b[j-1] < a[i])
                maxf = max(maxf,f[i-1][j-1]);
            if(a[i]==b[j]) 
                f[i][j] = max(f[i][j], maxf + 1);
            else 
                f[i][j] = f[i-1][j];
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        ans = max(ans,f[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}