【记忆化搜索】01背包

记忆化搜索也是实现dp的一种，有时候可能比状态转移方程推过去复杂，但有时候因为是直接去搜索，反而降低了思维难度

就用01背包来练练手（设c为容量，w为重量，v为价值）

• 记忆化搜索是在搜索的基础上，进行优化，跳过打开相同的子树，从而避免大量的重复计算。因为在搜索的时候可能会再次dfs到一个已经到过的点，而这个点又会再打开一棵很大的子树，这样就会进行大量的重复计算，所以如果这个点访问完毕，我们记录下这个点的值，再次访问时直接返回这个值，就不要再打开这棵子树 if（f[i][j] > 0） return f[i][j];

对于01背包，有选和不选两种转移方式
采用直接搜索（从i=1, j=c 开始搜索）

$$f（i，j） = max(dfs(i+1,j),dfs(i+1,j-w[i])+v[i])$$
对于f(i，j) 直接去搜索f(i+1,j)和f(i + 1,j - w[i])的值，再根据选和不选加上v[i]
由于打开dfs发生在赋值之前，赋值是逆序的，在f(i,j)确定之前，f(i+1,j)和f(i+1,j-w[i])一定已经被确定好了，这样状态就可以被正确地转移

还有些边界条件，具体看代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << "=" << x << endl;
const int MAXN = 1000 + 10;
int n,c,f[MAXN][MAXN],w[MAXN],v[MAXN];
int dfs(int i, int c) {
    if(f[i][c]) return f[i][c];
    if(i == n+1) return 0;
    if(c >= w[i]) 
        f[i][c] = max(dfs(i+1,c), dfs(i+1,c-w[i]) + v[i]);
    else 
        f[i][c] = dfs(i+1,c);
    return f[i][c];
}
int main() {
    cin >> c >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        cin >> w[i] >> v[i];
    cout << dfs(1,c);
    return 0;
}