uva10601 - Cubes

最新推荐文章于 2020-04-20 16:38:36 发布

*ACoder*

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分类专栏： # 置换 # 等价类计数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/FSAHFGSADHSAKNDAS/article/details/87875830

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等价类计数

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本文深入探讨了Burnside计数定理在离散数学中的应用，详细解释了置换群、等价关系及不动点的概念，并通过正方体旋转问题实例展示了定理的实际运用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1542

Burnside计数定理

我想用离散数学的语言重新描述一下这个定理：
首先你有一个有限集合 $X$ ， $f$ 是这个集合上的置换， $g$ 是 $X$ 到 $X$ 的函数
定义一个置换群 $A=<\{f_1,f_2,...,f_k\},$ 函数合成 $>$
定义关系 $R$ ，对于两个函数 $g_a,g_b$ ，如果 $ga∘fi=gbg_a\circ f_i=g_b$ ，其中 $fi∈Af_i\in A$ ，则 $f_aRf_b$
不难证明 $R$ 的自反性、传递性、对称性，因此 $R$ 是等价关系
不动点：对于置换群中的一个置换 $f_i$ ，如果一个函数 $g$ 满足 $g∘f=gg\circ f=g$ ，就称 $g$ 是 $f$ 的不动点
$B u r n s i d e$ 计数定理指出，对于一个集合 $S=\{g_1,g_2,...,g_n\}$ ，以 $R$ 诱导出的等价关系来划分 $S$ ，得到的等价类的数目是置换群中每个置换的不动点的个数的平均数

题解

正方体旋转这种冷门知识谁会知道啊qwq
先来构造置换群：

不动置换，这个置换被拆成 $12$ 个环，每个环的大小为 $1$
以对面中心连线为轴旋转 $90∘90^\circ$ 或 $270∘270^\circ$ ，这个置换被拆成 $3$ 个环，大小都为 $4$
以对面中心连线为轴旋转 $180∘180^\circ$ ，这个置换被拆成 $6$ 个环，大小都为 $2$
以对棱为的重点连线为轴旋转 $180∘180^\circ$ ，这个置换被拆成 $7$ 个环，大小分别为 $1, 1, 2, 2, 2, 2, 2$
以体对角线为为轴旋转 $120∘120^\circ$ 或 $240∘240^\circ$ ，这个置换被拆成 $4$ 个环，每个大小为 $3$

每个环内所有点的颜色都得是一样的
写一个爆搜计数就好了

代码

//等价类计数
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 110
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
int cnt, res[maxn], need[maxn];
int read(int x=0)
{
	int c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
	return f*x;
}
void dfs(int pos)
{
	int i;
	if(pos>need[0])
	{
		cnt++;
		return;
	}
	for(i=1;i<=6;i++)
	{
		if(res[i]>=need[pos])
		{
			res[i]-=need[pos];
			dfs(pos+1);
			res[i]+=need[pos];
		}
	}
}
int main()
{
	int i, T=read(), ans;
	while(T--)
	{	
		cl(res);
		for(i=1;i<=12;i++)res[read()]++;
		
		ans=0;
		
		cnt=0;
		need[0]=12;
		for(i=1;i<=12;i++)need[i]=1;
		dfs(1);
		ans+=cnt;
		
		cnt=0;
		need[0]=3;
		for(i=1;i<=3;i++)need[i]=4;
		dfs(1);
		ans+=cnt*6;
		
		cnt=0;
		need[0]=6;
		for(i=1;i<=6;i++)need[i]=2;
		dfs(1);
		ans+=cnt*3;
		
		cnt=0;
		need[0]=7;
		need[1]=need[2]=1;
		need[3]=need[4]=need[5]=need[6]=need[7]=2;
		dfs(1);
		ans+=cnt*6;
		
		cnt=0;
		need[0]=4;
		for(i=1;i<=4;i++)need[i]=3;
		dfs(1);
		ans+=cnt*8;
		
		printf("%d\n",ans/24);
	}
	return 0;
}